« Espaces vectoriels normés/Limites et continuité » : différence entre les versions
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→Limite d'une suite dans un e.v.n. : Ajout des démonstrations+corrections |
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|contenu=
La limite d'une suite de <math>E</math>, si elle existe, est unique.
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu=
:Supposons donc que <math>(u_n)</math> soit une suite convergente et que <math>\ell,\ \ell'</math> sont deux limites de <math>(u_n)</math>.
:On a alors, pour <math>\epsilon >0</math> :
:*<math>\exists N_1 \in \N,\ \forall n>N_1,\ \|u_n-\ell\|<\epsilon</math>.
:*<math>\exists N_2 \in \N,\ \forall n>N_2,\ \|u_n-\ell'\|<\epsilon</math>.
:Posons alors <math>N=max(N_1,N_2)</math>, et on a donc :
:<math>\forall n>N,\ \|\ell-\ell'\|\leq \|u_n-\ell\|+\|u_n-\ell'\|<2\epsilon</math>.
:Ceci étant vrai pour tout <math>\epsilon>0</math>, on a <math>\|\ell-\ell'\|=0</math>, d'où <math>\ell=\ell'</math>.
}}
;Remarque :
*Pour information, ce résultat n'est pas toujours vrai pour des espaces plus généraux, comme les [[Topologie générale/Espace topologique#Définitions fondamentales|espaces non séparés]].
L'introduction de la notion de voisinage dans le chapitre précédent va nous permettre de donner une caractérisation équivalente de la limite qui est utilisée dans les généralisations de cette notion, et qui permet de simplifier parfois les raisonnements.
{{Propriété
|titre= Propriété : caractérisation de la limite par les voisinages
|contenu =
Soient <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>, et <math>l\in E</math>.<br \>
<math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math> si et seulement
}}
{{Démonstration déroulante
|contenu =
Comme nous sommes dans une espace vectoriel, il est important de connaître le comportement de la notion de limite vis-à-vis de la structure algébrique, et ici tout se passe bien car on constate la linéarité de la limite.▼
La preuve découle directement des définitions de voisinage et de limite.
:Supposons tout d'abord que <math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math>.
:Soit <math>\mathcal{V}</math> un voisinage de <math>\ell</math> alors il existe <math>\epsilon >0</math> tel que <math>B(\ell,\epsilon)\subset \mathcal{V}</math>
:On a donc, par définition de la limite : <math>\exists N \in \N,\ \forall n>N,\ \|u_n-\ell\|<\epsilon</math>, ce qui revient à dire que <math>\exists N \in \N,\ \forall n>N,\ u_n\in B(\ell,\epsilon)</math>, ou encore <math> \forall n>N,\ u_n \in \mathcal{V}</math>.
:Réciproquement, si pour tout voisinage <math>\mathcal{V}</math> de <math>\ell\, \exists N\in \N,\ \forall n>N,\ u_n\in \mathcal{V}</math>.
:Soit <math>\epsilon>0</math>. Alors, comme <math>B(\ell,\epsilon)</math> est un voisinage de <math>\ell,\ \exists N\in \N,\ \forall n>N,\ u_n \in B(\ell,\epsilon)</math>.
:Ceci revient exactement à dire que <math>\lim_{n\to+\infty} u_n =\ell</math>.
}}
▲Comme nous sommes dans une espace vectoriel, il est important de connaître le comportement de la notion de limite vis-à-vis de la structure algébrique, et ici tout se passe bien car on constate la linéarité de la limite. La démonstration de ce résultat repose essentiellement sur l'inégalité triangulaire aussi elle est laissée en exercice pour le lecteur.
{{Propriété
|titre= Propriété : linéarité de la limite
Ligne 53 ⟶ 72 :
{{Propriété|titre=Propriété : [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Caractérisation séquentielle|Caractérisation séquentielle]] de l'adhérence|contenu=
*<math>a\in\overline{\mathcal D}</math> si et seulement si <math>a</math> est limite d'une suite d'éléments de <math>\mathcal D</math>.
*En particulier, <math>\mathcal{D}</math> est fermé si et seulement si toute suite convergente <math>(u_n)</math> de <math>\mathcal{D}</math>
{{Démonstration déroulante
|contenu =
*Soit <math>a\in\overline{\mathcal D}</math>, et <math>\epsilon>0</math>.
:Par définition, tout voisinage de <math>a</math> rencontre <math>\mathcal{D}</math>. En particulier, <math>\forall n\in \N,\ B(a,\frac{1}{n})\cup \mathcal{D}\neq \emptyset</math>.
:Choisissons alors <math>\forall n\in \N,\ u_n \in B(a,\frac{1}{n})\cup \mathcal{D}</math>. La suite <math>(u_n)</math> ainsi crée converge alors vers <math>a</math> car <math>\frac{1}{n}\to 0</math>.
:Réciproquement, si <math>a</math> est limite d'une suite d'éléments de <math>\mathcal D</math>, alors tout voisinage <math>\mathcal{V}</math> de <math>a</math> contient des éléments de la suite et donc : <math>\mathcal{V}\cup\mathcal{D}\neq \emptyset</math>.
*La deuxième partie est évidente en se rappelant que si <math>\mathcal{D}</math> est fermée alors <math>\overline{\mathcal{D}}=\mathcal{D}</math>.
}}
Concernant la densité le
{{Corollaire
|titre=Corollaire : [[Topologie générale/Continuité et homéomorphismes#Caractérisation séquentielle|Caractérisation séquentielle]] de la densité
Ligne 80 ⟶ 107 :
*On peut également trouver le terme application bicontinue au lieu d'homéomorphisme dans certains textes.
{{Propriété
|titre = Propriété : caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction
Ligne 90 ⟶ 117 :
;Remarque :
*On déduit immédiatemment de ce résultat l'unicité de la limite des fonctions, ainsi que la linéarité de la limite de fonction et de la continuité en utilisant la linéarité de la limite des suites. Plus précisément, si <math>f,\ g</math> sont deux fonctions continues en un point <math>a\in \mathcal{D}</math>, alors <math>\forall \lambda \in \mathbb{K}</math> la fonction <math>\lambda f+g</math> est continue.
*Pour montrer qu'une application n'est pas continue en <math>a</math>, il suffit de trouver une suite <math>(u_n)</math> tel que la suite <math>(f(u_n))</math> ne converge pas vers <math>f(a)</math>.
Voyons maintenant d'autres caractérisations de la continuité très importantes en pratique.
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