« Série numérique/Exercices/Nature de séries » : différence entre les versions
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D'après l'[[Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré#Exercice 4|inégalité arithmético-géométrique ]], <math>\sqrt{u_nv_n}\le\frac{u_n+v_n}2</math>. Ou plus savamment : d'après l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] dans l'[[w:Espace de suites ℓp|espace ℓ{{exp|2}}]] des suites de carré sommable, <math>\sum\sqrt{u_nv_n}\le\sqrt{\sum u_n\sum v_n}</math>.
}}
Soit maintenant <math>v_n=\frac1n</math>. Trouver une série <math>\sum u_n</math> convergente à termes positifs telle que <math>\sum\sqrt{u_nv_n}</math> diverge.
{{Solution|contenu=D'après le critère pour les [[Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage|séries de Bertrand]], <math>u_n=\frac1{n\ln^\beta n}</math> convient si <math>1<\beta\le2</math>.}}
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| idfaculté = mathématiques
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