Série numérique/Exercices/Nature de séries

Exercice 1

Soient $a\in \left]0,+\infty \right[$ et $\alpha \in \mathbb {R}$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_{n}:={\frac {a^{(-1)^{n}}}{n}}$ ;
2. $v_{n}:={\begin{cases}{\frac {1}{n^{\alpha }}}&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\{\frac {1}{n^{\beta }}}&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Solution

1. Si $n$ est pair, $u_{n}={\tfrac {a}{n}}$ et si $n$ est impair, $u_{n}={\tfrac {1}{an}}$. Donc pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$, $u_{n}\geq {\tfrac {b}{n}}$, où $b=\min(a,{\tfrac {1}{a}})>0$. Or $\sum _{n\geq 1}{\frac {b}{n}}=b\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=b\times +\infty =+\infty$. On en déduit que $\sum _{n\geq 1}u_{n}=+\infty$.
2. $\sum v_{n}$ converge si et seulement si les deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ convergent, où

   $a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n^{\alpha }}}&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}\quad {\text{et}}\quad b_{n}={\begin{cases}0&{\text{ si }}n{\text{ est un carré parfait,}}\\{\frac {1}{n^{\beta }}}&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

   $\sum a_{n}=\sum {\frac {1}{k^{2\alpha }}}$ converge si et seulement si $\alpha >{\frac {1}{2}}$.

   $\sum b_{n}=\sum _{k}\sum _{n=k^{2}+1}^{(k+1)^{2}-1}{\frac {1}{n^{\beta }}}=\sum _{k}\sum _{j=1}^{2k}{\frac {1}{(k^{2}+j)^{\beta }}}$ est comprise entre $\sum _{k}{\frac {2k}{(k^{2}+2k)^{\beta }}}$ et $\sum _{k}{\frac {2k}{(k^{2}+1)^{\beta }}}$ donc est de même nature que $\sum _{k}{\frac {1}{k^{2\beta -1}}}$, c'est-à-dire convergente si et seulement si $\beta >1$.

 

Exercice 2

Étudier la nature des séries de terme général :

1. $u_{n}:=n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {2n}{2n+1}}$ ;
2. $v_{n}:=n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\cos {\frac {1}{\sqrt {n}}}$.

Solution

1. $u_{n}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)-\left(1+{\frac {1}{2n}}\right)^{-1}=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $u_{n}\sim {\frac {1}{12n^{2}}}$ mais cette précision est inutile). On peut remarquer que $u_{n}\geq 0$ (en étudiant les variations de la fonction $x\mapsto \ln(1+x)-{\frac {x}{1+x/2}}$).
2. $v_{n}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)-\left(1-{\frac {1}{2n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\right)=O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc la série est absolument convergente (en fait, $v_{n}\sim {\frac {7}{24n^{2}}}$ mais cette précision est inutile).

 

Exercice 3

Soient $a\in \left]0,+\infty \right[$ et $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$. Étudier la nature des séries de terme général :

1. $x_{n}:={\frac {a^{t_{n}}}{n^{\alpha }}}$ où $(t_{n})$ est une suite réelle telle que $\lim _{n\to +\infty }{\frac {t_{n}}{\ln n}}=+\infty$ ;
2. $y_{n}:={\frac {1}{n^{\alpha }\ln ^{\beta }(n!)}}$ (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement $n^{n/2}\leq n!\leq n^{n}$) ;
3. $z_{n}:=\left({\frac {an+\alpha }{n+\beta }}\right)^{n}$ ;
4. $u_{n}:=\cos(n\pi )\sin {\frac {\ln n}{n{\sqrt {n}}}}$ ;
5. $w_{n}:=\left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)^{n^{\alpha }}$ ;

Solution

1. $s_{n}:={\frac {t_{n}}{\ln n}}\to +\infty$ et $x_{n}=n^{s_{n}\ln a-\alpha }$.
   • Si $a>1$, la série est grossièrement divergente.
   • Si $a=1$, c'est la série de Riemann, qui converge si et seulement si $\alpha >1$.
   • Si $a<1$, pour $n$ assez grand, $s_{n}\ln a-\alpha <-2$ donc $x_{n}<{\frac {1}{n^{2}}}$ et la série converge.

   Remarque : la règle de d'Alembert s'applique si par exemple $t_{n}=n$, mais pas si $t_{n+1}-t_{n}\to 0$ (comme pour $t_{n}={\sqrt {n}}$ ou $t_{n}=\ln ^{2}n$) et dans ce cas, même Cauchy ne conclut pas (car $t_{n}=o(n)$).

2. On montre facilement que $n!\geq n^{n/2}$, minoration grossière mais largement suffisante ici, en regroupant les termes deux par deux ($n!=(1.n)(2(n-1))(3(n-2))\dots$). En effet, si $1\leq k<{\frac {n+1}{2}}$ alors $k(n+1-k)\geq n$ et si $k={\frac {n+1}{2}}$ alors $k\geq n^{1/2}$. On pourrait montrer de même que n! ≤ ((n + 1)/2)ⁿ (en majorant k(n + 1 – k) par ((n + 1)/2)²), mais la majoration immédiate n! ≤ nⁿ nous suffira.

   On en déduit que ${\frac {n}{2}}\ln n\leq \ln(n!)\leq n\ln n$. Par conséquent, $\sum y_{n}$ est de même nature que la série de Bertrand $\sum {\frac {1}{n^{\alpha +\beta }\ln ^{\beta }n}}$ : elle converge si et seulement si $\alpha +\beta >1$ ou $1-\alpha =\beta >1$.

3. Soit un entier $N>\max \left(-{\frac {\alpha }{a}},-\beta \right)$. Pour $n\geq N$, $z_{n}$ est bien défini et strictement positif.$z_{n}=a^{n}\left({\frac {1+{\frac {\alpha }{an}}}{1+{\frac {\beta }{n}}}}\right)^{n}\sim a^{n}\exp \left({\frac {\alpha }{a}}-\beta \right)$ donc $\sum _{n\geq N}z_{n}$ est de même nature que la série géométrique $\sum a^{n}$ : elle converge si et seulement si $a<1$. La règle de Cauchy (ou celle de d'Alembert) ne permettrait pas de conclure lorsque $a=1$.
4. En remarquant que $\cos(n\pi )=(-1)^{n}$, on pouvait être tenté d'appliquer le critère de convergence pour les séries alternées (ce qui nécessiterait de démontrer que $\sin {\frac {\ln n}{n^{3/2}}}$ est décroissante à partir d'un certain rang), mais c'est complètement inutile : la série est absolument convergente, car dominée par une série de Riemann convergente : $|u_{n}|\leq \left|\sin {\frac {\ln n}{n{\sqrt {n}}}}\right|\sim {\frac {\ln n}{n^{1+1/2}}}=O\left({\frac {n^{1/4}}{n^{1+1/2}}}\right)$.
5. (Pour tout $n\geq 1$, $\sin {\frac {1}{n}}>0$ car $0<{\frac {1}{n}}\leq 1<\pi$).

   $w_{n}=\exp \left(n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)\right)>0$.

   $n\sin {\frac {1}{n}}=n\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+o\left({\frac {1}{n^{3}}}\right)\right)=1-{\frac {1}{6n^{2}}}+o\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$ donc

   $n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)\sim -{\frac {n^{\alpha }}{6n^{2}}}=-{\frac {n^{\alpha -2}}{6}}$.

   • Si $\alpha \leq 2$, $-{\frac {n^{\alpha -2}}{6}}\geq -{\frac {1}{6}}$ donc $\sum w_{n}$ diverge grossièrement.
   • Si $\alpha >2$, $\ln n=o(n^{\alpha -2})$. Par conséquent, pour $n$ assez grand, $n^{\alpha }\ln \left(n\sin {\frac {1}{n}}\right)<-2\ln n$ donc $w_{n}<\mathrm {e} ^{-2\ln n}={\frac {1}{n^{2}}}$ et la série converge.

 

Exercice 4

Soit $(a_{n})$ une suite réelle positive décroissante. On pose $S=\sum _{n\geq 1}a_{n}$ et $T=\sum _{k\geq 0}2^{k}a_{2^{k}}$. Montrer que $S\leq T\leq 2S$ (ce qui prouvera que $S<+\infty$ si et seulement si $T<+\infty$).

Solution

Le deux séries étant à termes positifs, les calculs se font directement sur $S,T\in \left[0,+\infty \right]$, sans avoir à considérer les sommes partielles. En groupant les termes par « paquets de taille $2^{k}$ » (comme dans la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique), on a d'une part

$S=a_{1}+(a_{2}+a_{3})+(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7})+\ldots \leq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\ldots =T$

et d'autre part

$2S=a_{1}+(a_{1}+a_{2})+(a_{2}+a_{3}+a_{3}+a_{4})+\ldots \geq a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+\ldots =T$.

 

Exercice 5

Nature de la série de terme général $u_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(n+k)^{p}}}$, selon les valeurs du réel $p$ ?

Solution

$u_{n}\geq 0$ donc on peut directement calculer $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$, qui sera un réel si la série converge et qui sera $+\infty$ sinon.

$\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=\sum _{n\geq 1,1\leq k\leq n}{\frac {1}{(n+k)^{p}}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)^{p}}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{m=2k}^{\infty }{\frac {1}{m^{p}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {E(m/2)}{m^{p}}}$.

La série est donc convergente si et seulement si $p-1>1$, c.-à-d. $p>2$.

 

Exercice 6

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs. Montrer que :

1. (Règle de Kummer)
   1. $\sum u_{n}$ converge si et seulement s'il existe une suite positive $\left(k_{n}\right)$ et une constante $\delta >0$ telles qu'à partir d'un certain rang, $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq \delta$ ;
   2. $\sum u_{n}$ diverge si et seulement s'il existe une suite $\left(k_{n}\right)$ strictement positive telle que $\sum 1/k_{n}=+\infty$ et telle qu'à partir d'un certain rang, $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$ ;
2. (Règle de Raabe-Duhamel)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$, alors $\sum u_{n}$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$, alors $\sum u_{n}$ diverge.
3. (Règle de Bertrand)
   1. s'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {b}{n\ln n}}$, alors $\sum u_{n}$ converge ;
   2. si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}$, alors $\sum u_{n}$ diverge.

Solution

1. 1. Si $k_{n}\geq 0$ et (à partir d'un certain rang $N$) $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq \delta >0$ alors $\delta u_{n+1}\leq k_{n}u_{n}-k_{n+1}u_{n+1}$ donc $\sum _{m>N}u_{m}\leq {\frac {k_{N}u_{N}}{\delta }}<+\infty$.
      Réciproquement, si $\sum u_{n}$ converge alors, en posant $k_{n}:={\frac {1}{u_{n}}}\sum _{k>n}u_{k}$, on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}=1$.
   2. Si $k_{n}>0$ et (à partir d'un certain rang) $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$ alors ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq {\frac {1/k_{n+1}}{1/k_{n}}}$, donc (exercice 5-1) si de plus $\sum 1/k_{n}=+\infty$ alors $\sum u_{n}$ diverge.
      Réciproquement, si $\sum u_{n}$ diverge alors, en posant $k_{n}:=1/u_{n}$, on a $\sum 1/k_{n}=+\infty$ et $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}=0$.
2. 1. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$ alors, en posant $k_{n}:=n-b$, on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq b-1$, et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer.
   2. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$ alors, en posant $k_{n}:=n-1$, on a $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 0$, et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.
3. En posant $k_{n}:=n\ln n$, on a :
   1. si ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {b}{n\ln n}}$ alors $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\geq b-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\geq \delta$ à partir d'un certain rang si $\delta <b-1$, et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer ;
   2. Si ${\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}$ alors $k_{n}{\frac {u_{n}}{u_{n+1}}}-k_{n+1}\leq 1-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\leq 0$, et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.

 

Exercice 7

Soit $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes et par une récurrence linéaire d'ordre 2 :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}$. On suppose $x_{0}\geq 0$, $x_{1}>0$, $a\geq 1$ et $b>0$.

1. Démontrer, pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, que $0<x_{n}\leq x_{n+1}$ puis $x_{n+2}\geq (a+b)x_{n}$.
2. En déduire que $\sum {\frac {1}{x_{n}}}$ converge.

Solution

1. Par récurrence, la suite est à valeurs $\geq 0$, donc $\forall n\in \mathbb {N} \quad x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\geq ax_{n+1}\geq x_{n+1}$, si bien qu'à partir de l'indice 1, la suite est croissante et donc $>0$.
   On en déduit immédiatement que $x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_{n}\geq (a+b)x_{n}$.
2. $\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{x_{n}}}=\sum _{k\geq 0}u_{k}$ avec $u_{k}={\frac {1}{x_{2k+1}}}+{\frac {1}{x_{2k+2}}}$. D'après la question précédente, $u_{k+1}\leq {\frac {u_{k}}{a+b}}$ or par hypothèse, $a+b>1$. La série est donc (géométriquement) convergente.

 

Exercice 8

Soit $(a_{n})$ une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive $(b_{n})$ telle que

$\forall n\in \mathbb {N} \quad |a_{n}|\leq b_{n}-b_{n+1}$.

Montrer qu'alors, $\sum a_{n}$ est absolument convergente.

Solution

$\forall N\in \mathbb {N} \quad \sum _{n=0}^{N}|a_{n}|\leq \sum _{n=0}^{N}(b_{n}-b_{n+1})=b_{0}-b_{N+1}\leq b_{0}$.

 

Exercice 9

1. Soit $\sum x_{n}$ une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel $\lambda$, $\sum {\frac {x_{n}}{1+\lambda x_{n}}}$ est absolument convergente.

Solution

Puisque $\sum |x_{n}|$ converge, $x_{n}\to 0$ donc $\left|{\frac {x_{n}}{1+\lambda x_{n}}}\right|\sim \left|x_{n}\right|$.

 

2. Soient $u_{n}\geq 0$ et $v_{n}={\frac {u_{n}}{1+u_{n}}}$. Montrer que les deux séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Solution

Si $\sum u_{n}$ converge alors $\sum v_{n}$ aussi d'après la question 1.

Réciproquement, si $\sum v_{n}$ converge alors $\sum u_{n}$ aussi, à nouveau d'après la question 1, car $v_{n}\geq 0$ et $u_{n}={\frac {v_{n}}{1-v_{n}}}$.

 

Exercice 10

Soit $\sum u_{n}$ une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel $\alpha >1$, $\sum u_{n}^{\alpha }$ converge.

Solution

$u_{n}\to 0$ donc $u_{n}^{\alpha }=o(u_{n})$.

 

Exercice 11

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}$ converge.

Solution

D'après l'inégalité arithmético-géométrique , ${\sqrt {u_{n}v_{n}}}\leq {\frac {u_{n}+v_{n}}{2}}$. Ou plus savamment : d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace ℓ² des suites de carré sommable, $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}\leq {\sqrt {\sum u_{n}\sum v_{n}}}$.

 

Soit maintenant $v_{n}={\frac {1}{n}}$. Trouver une série $\sum u_{n}$ convergente à termes positifs telle que $\sum {\sqrt {u_{n}v_{n}}}$ diverge.

Solution

D'après le critère pour les séries de Bertrand, $u_{n}={\frac {1}{n\ln ^{\beta }n}}$ convient si $1<\beta \leq 2$.

 

Exercice 12

Soit $(a_{n})$ une suite de réels. Notons $a_{n}^{+}=\max(a_{n},0)$ et $a_{n}^{-}=-\min(a_{n},0)$. Montrer que :

1. $\sum a_{n}$ est absolument convergente si et seulement si $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ convergent ;
2. si $\sum a_{n}$ est seulement semi-convergente, alors $\sum a_{n}^{+}$ et $\sum a_{n}^{-}$ divergent.

Solution

1. $|a_{n}|=a_{n}^{+}+a_{n}^{-}$ et $0\leq a_{n}^{+}\leq |a_{n}|$, $0\leq a_{n}^{-}\leq |a_{n}|$.
2. $|a_{n}|=2a_{n}^{+}-a_{n}=2a_{n}^{-}+a_{n}$.