« Fonctions circulaires/Exercices/Problème d'optimisation » : différence entre les versions
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Ligne 24 :
(AB) est un rayon d'un cercle de rayon 1 et de centre A.
C est un point de ce cercle et D un point tel que BD = 5 et <math>(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD})=\gamma=\frac{\pi}{6}</math>.
On note <math>\alpha</math> l'angle <math>(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})</math>
Le but du problème est de trouver <math>\alpha</math> pour l'aire du triangle BCD soit maximum.
Ligne 38 ⟶ 36 :
Dans le triangle ABC on a :
:<math>\alpha+2(\beta+\
De plus, <math>BC = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\,</math>
Soit h la hauteur du triangle ABC issue de C, on a alors :
:<math>h=2\sin(\beta
::<math>
Il s'agit à présent d'étudier la fonction <math>h\,</math>. ▼
Dérivons <math>h\,</math> par rapport à <math>\beta\,</math> :
:<math>h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\frac{\pi}{6}+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\frac{\pi}{6}+\beta)</math>
D'après la formule <math>\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\,</math>
:<math>h'(\beta)=2\cos(2\beta+\frac{\pi}{6})\,</math>
<math>\beta+\frac{\pi}{6}</math> varie dans <math>]-\frac({\pi}{2},\frac({\pi}{2}]</math>
donc <math>\beta</math> varie dans
:<math>]-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}]=]-\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{3}\,</math>.
finalement <math>2\beta+\frac{\pi}{6}\,</math> varie dans <math>]-\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]</math>.
Son cosinus s'annule donc pour :
:<math>2\beta+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\,</math>
ou
▲Il s'agit à présent d'étudier la fonction h.
c'est-à-dire :
▲<math>h'(\beta)=2\cos(\beta)\cos(\gamma+\beta)-2\sin(\beta)\sin(\gamma+\beta)</math>
ou
▲<math>h'(\beta)=2\cos(2\beta+\gamma)</math>
:<math>\beta=-\frac{\pi}{3}\,</math>
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