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« Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et fonctions puissances » : différence entre les versions

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{{Exercice
| titre = Primitives et fonctions puissances
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Initiation au calcul intégral]]
| niveau = 12
| chapitre = [[Initiation au calcul intégral]]
| numero = 1
}}
[[Catégorie:Initiation au calcul intégral]]
 
== Fonctions de la forme ''u’ × u<sup>n</sup>'' ==
 
=== Exercice 1 ===
==Fonctions de la forme ''u’ × u<sup>n</sup>''==
 
===Question 1===
On cherche une primitive sur <math>\R</math> de la fonction <math>f(x)=(x+5)^2\,</math>
 
:'''a).''' Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme <math>u^n~:~\cdots</math>
{{boîte:'''b.''' A déroulante|titre=Solution|contenu= d'exemple, dériver la fonction <math>G(u^nx)'=n~u'~u(x+5)^{n-1}3\,</math>}}
b) A titre d'exemple, dériver la fonction :<math>G'(x)=(x+5)^3\,cdots</math>
:'''c.''' Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
 
:'''d.''' En déduire une primitive F de f sur <math>\R</math> :
<math>G'(x)=\cdots</math>
:<math>F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Ici :
:'''e.''' Vérification : <math>F'(x)=\cdots=f(x)</math>
*u(x)=x+5
*u'(x)=x+5
*n=3
 
{{cadre simple|contenu=<math>G'(x)=3(x+5)^2\,</math>}}}}
 
{{Solution|contenu=
c) Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
'''a.''' <math>(u^n)'=n~u'~u^{n-1}</math>
 
'''b.''' Ici :
<math>f(x)=\cdots</math>
* u(x)=x+5
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>f(x)=\frac{G'(x)}3</math>}}
* u'(x)=x+5
* n=3
{{cadre simple|contenu=<math>G'(x)=3(x+5)^2\,</math>}}
 
'''c.''' <math>f(x)=\frac{G'(x)}3</math>
d) En déduire une primitive F de f sur <math>\R</math> :
 
'''d.''' Une primitive F de f sur <math>\R</math> est alors <math>F(x)=\frac{G(x)}3=\frac{(x+5)^3}3</math>
<math>F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=Une primitive F de f sur <math>\R</math> est alors <math>F(x)=\frac{G(x)}3=\frac{(x+5)^3}3</math>}}
 
'''e.''' <math>\begin{align}
e) Vérification : <math>F'(x)=\cdots=f(x)</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=<math>\begin{align}
F'(x)&=\frac13~G'(x)\\
&=\frac13~3(x+5)^3\\
Ligne 47 ⟶ 42 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>F:x\mapsto \frac{(x+5)^3}3</math> est bien une primitive de f.}}}}
 
===Question Exercice 2 ===
 
De même avec <math>f(x)=(3x-2)^3\,</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x)=(3x-2)^{\cdots}</math>
 
* <math>G'(x)=\cdots</math>
* <math>f(x)=\cdots</math>
* <math>F(x) =\cdots</math>
* Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*Comme lorsqu'on dérive, l'exposant est diminué de 1, il faut poser la fonction <math>G(x)=~(3x-2)^4</math>
*On pose <math>u:x \mapsto 3x-2</math>. Sa dérivée est <math>u':x \mapsto 3</math>
Ligne 74 ⟶ 68 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>F:x\mapsto \frac{(3x-2)^4}{12}</math> est une primitive de f}}}}
 
===Question Exercice 3 ===
 
De même avec <math>f(x)=x(x^2-4)^2\,</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x)=\cdots</math>
 
Ligne 81 ⟶ 74 :
*<math>f(x)=\cdots</math>
*<math>F(x)=\cdots</math>
*Vérification : ...
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*On cherche à utilier la formule <math>(u^n)'=n~u'u^{n-1}</math>. On essaye alors de poser :
**n=3 (car l'exposant va diminuer de 1 en dérivant et on veut un 2)
Ligne 103 ⟶ 96 :
{{cadre simple|contenu=Donc <math>F:x\mapsto \frac{(x^2-4)^3}6</math> est une primitive de f}}}}
 
== Fonctions de la forme <math>\frac{u'}{u^n}</math> ==
=== Exercice 1 ===
On cherche une primitive sur <math>]-5;+\infty[</math> de la fonction <math>f(x)=\frac3{(x+5)^2}</math>
 
:'''a.''' Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme <math>\frac1{u^n} : \cdots</math>
===Exercice 1===
:'''b.''' A titre d'exemple, dériver la fonction <math>G(x)=\frac1{x+5}</math>
:<math>G'(x)=\cdots</math>
:'''c.''' Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
:<math>f(x)=\cdots</math>
:'''d.''' En déduire une primitive F de f sur <math>\R</math> :
:<math>F(x)=\cdots</math>
:'''e.''' Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
 
{{Solution|contenu=
On cherche une primitive sur <math>]-5;+\infty[</math> de la fonction <math>f(x)=\frac3{(x+5)^2}</math>
'''a.''' Cette question est un peu piégeuse :
 
a) Rappeler la formule donnant la dérivée d'une fonction de la forme <math>\frac1{u^n} : \cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
Cette question est un peu piégeuse :
 
* si ''n'' = 0, il s'agit d'une constante, dont la dérivée est nulle ;
Ligne 123 ⟶ 122 :
 
''Remarque'' : on aurait pu la retrouver à partir de la formule donnant la dérivée de ''u<sup>n</sup>''.
}}
 
'''b.''' On a simplement :
b) A titre d'exemple, dériver la fonction <math>G(x)=\frac1{x+5}</math>
 
<math>G'(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
On a simplement :
:<math>G'\left(x \right) = \frac{- 1}{\left(x+5\right)^2}</math>
}}
 
'''c.''' D'après les questions précédentes :
c) Écrire f(x) en faisant apparaître la dérivée de G.
 
<math>f(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
D'après les questions précédentes :
 
:<math>f(x)= \frac3{(x+5)^2}= -3 G'(x) </math>
}}
 
'''d).''' EnIl déduireest immédiat qu'une primitive F de f''ƒ'' surest <math>\R</math>-3''G''. :En effet :
 
<math>F(x)=\cdots</math>
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu =
Il est immédiat qu'une primitive de ''ƒ'' est -3''G''. En effet :
 
:<math>\left(-3G \right)' (x) = -3 G'(x) = f(x)</math>
}}
 
'''e.'''}}
e) Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
 
===Exercice 2===
 
=== Exercice 2 ===
De même sur <math>\left]\frac32;+\infty\right[</math> avec <math>f(x)=\frac5{(3x-2)^3}</math> en faisant apparaître la dérivée de <math>G(x)=\frac1{(3x-2)^{\cdots}}</math>
 
* <math>G'(x)=\cdots</math>
* <math>f(x)=\cdots</math>
* <math>F(x)=\cdots</math>
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
* Dans cette configuration, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout <math>x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~G(x)=\frac1{(3x-2)^2}</math>.
* On dérive alors ''G'' :
** pour tout <math>x\in\left]\frac32;+\infty\right[,~u(x)=3x-2~\textrm{et}~G(x)=\frac1{u(x)}</math>
** pour tout <math>x\in\left]\frac32;+\infty\right[,~u'(x)=3</math>
** n=2
** pour tout <math>x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~G'(x)=-\frac{n.u'(x)}{u(x)^{n+1}}=-\frac6{(3x-2)^3}</math>
* On relie ''G''' à ''f'' par pour tout <math>x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~-\frac56G'(x)=f(x)</math>
{{cadre simple|contenu=Une primitive ''F'' de f est alors définie par pour tout <math>x \in \left]\frac32;+\infty\right[,~F(x)=-\frac56G(x)=-\frac5{6(3x-2)^2}</math>}}}}
* Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
 
=== Exercice 3 ===
*Vérification : <math>F'(x)=\cdots</math>
 
===Exercice 3===
 
De même sur <math>]1;+\infty[</math> avec <math>f(x)=\frac{x^2}{(5x^3-4)^4}</math> en faisant apparaître la dérivée de G(x)=...
* <math>G'(x)=\ldots</math>
* <math>f(x)=\ldots</math>
* <math>F(x)=\ldots</math>
* Vérification : ...
 
{{Solution|contenu=
*<math>G'(x)=\ldots</math>
*<math>f(x)=\ldots</math>
*<math>F(x)=\ldots</math>
 
{{boîte déroulante|titre=Solution|contenu=
*Là encore, la dérivation « augmente de 1 l'exposant du dénominateur ». On pose donc pour tout <math>x \in ]1;+\infty[,~G(x)=\frac1{(5x^3-4)^3}</math>.
*On dérive ''G'' :
Ligne 192 ⟶ 172 :
{{cadre simple|contenu=Une primitive ''F'' de f est alors définie par pour tout <math>x \in ]1;+\infty[,~F(x)=-\frac1{45}G(x)=-\frac1{45(5x^3-4)^3}</math>}}}}
 
[[Catégorie:Initiation au calcul intégral]]
*Vérification :...
 
 
{{Bas de page|idfaculté=mathématiques|leçon=[[Initiation au calcul intégral]]}}
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