« Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique I » : différence entre les versions
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Ligne 11 :
Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical <math>xO'y</math> (voir schéma n°1).
Soit un point <math>O</math> appartenant à la tige tel que <math>OG = l < L</math>. On note <math>Gz</math> un axe passant par <math>G</math>, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur <math>\overrightarrow{e_z}</math>; de même, on note <math>Oz</math> un axe passant par <math>O</math>, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur <math>\overrightarrow{e_z}</math>.
On donne le moment d'inertie du solide relativement à l'axe <math>Gz</math>, soit <math>I_G = \left( \frac{mL^2}{3} \right)</math>.
<ol>
Ligne 18 :
<li> Le moment d'inertie <math>I_O</math> de la tige relativement à l'axe <math>Oz</math> peut se calculer à partir de la formule <math>I_O = I_G + ml^2</math> (formule découlant du théorème de Huygens).
On désire obtenir <math>I_O = \left( \frac{3}{2}ml^2 \right)</math>, déterminer la valeur du rapport <math>\left( \frac{l}{L} \right)</math> dans ce cas.
Ceci sera maintenu dans la suite du problème (partie 3).
<li> Soumise l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan <math>xO'y</math>, l'axe <math>Oz</math> (étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle <math>\theta = \theta(t)</math>.
La liaison en O étant supposée parfaite, la réaction d'axe en <math>O</math> se limite à une force <math>\overrightarrow{R}</math> agissant en <math>O</math>. <br/>
Établir les expressions de l'énergie cinétique <math>E_c</math> et de l'énergie potentielle de pesanteur <math>E_p</math>, du solide en fonction de <math>m</math>, <math>l</math>, <math>\left( \frac{d\theta}{dt} \right)</math> et <math>g</math>.
<li> Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement; en déduire l'équation différentielle pour la variable <math>\theta</math>.
<li> La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec <math>\theta(0) = \theta_0 = 0,1 {\rm rad}</math> ce qui correspond à des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3.; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée <math>\omega_1</math>. <br/>
A.N. <math>l = \left( \frac{20}{9} \right) {\rm m} \approx 2,22 {\rm m}</math>
</ol>
</ol>
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