« Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan » : différence entre les versions
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Ligne 14 :
Résoudre l'équation suivante :
:<math> x^3 -
Ligne 26 :
avec :
:<math> a = 1 \qquad b = -
Pour supprimer le monôme de degré deux, nous commencerons par faire le changement de variable :
:<math> x = z - \frac{b}{3a} = z +
Nous obtenons :
:<math> (z +
En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :
:<math>
Posons :
Ligne 46 :
On obtient :
:<math>
Qui peut s'écrire :
:<math>
Posons :
:<math> uv =
On obtient :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 =
u{{exp|3}} et v{{exp|3}} sont donc racines de l'équation :
:<math> X^2 -
Qui a pour racine :
:<math> \left\{\begin{matrix} u^3 = \frac{
Tout cela pour dire en fait que ''u'' a trois valeurs possibles qui sont :
:<math> u = \sqrt[3]{\frac{
et ''v'' a aussi trois valeurs possibles qui sont :
:<math> v = \sqrt[3]{\frac{
Nous devons ensuite en déduire ''x'' en ajoutant une valeur de ''u'' avec une valeur de ''v''.
Ligne 82 :
Nous devons choisir une valeur de ''u'' et une valeur de ''v'' vérifiant la relation posée plus haut :
:<math> uv =
Compte tenu du fait que ''j''{{exp|3}} = 1, nous accouplerons ''u'' et ''v'' de la façon suivante :
:<math> \left\{\begin{matrix} u = \sqrt[3]{\frac{
Comme ''
<math> z_1 = \sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}~</math>
<math> z_2 = j.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} + j^2.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}~</math>
<math> z_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} + j.\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}~</math>
En reportant les trois valeurs de z dans la relation :
:<math> x = z + 1 ~</math>
Nous en déduisons finalement :
{{Cadre simple
|contenu=
<math> x_1 = \sqrt[3]{\frac{
<math> x_2 = j.\sqrt[3]{\frac{
<math> x_3 = j^2.\sqrt[3]{\frac{
}}
| |||