Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan

Résolution par la méthode de Cardan
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Exercices no4
Leçon : Équation du troisième degré
Chapitre du cours : Méthode de Cardan

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sur les tracés de courbes
Exo suiv. :Simplification des racines
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Équation du troisième degré/Exercices/Résolution par la méthode de Cardan
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Exercice 4-1Modifier

Résoudre par la méthode de Cardan les quatre équations suivantes :

a)    ;

b)    ;

c)    ;

d)    ;

Exercice 4-2Modifier

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes :

a)    ;

b)   .

Exercice 4-3Modifier

Résoudre par la méthode de Cardan les deux équations suivantes (déjà rencontrées dans l'exercice 1-3) :

α)   ;
β)  .

Exercice 4-4Modifier

En résolvant l'équation suivante par deux méthodes différentes :

 ,

montrer que :

 .

Exercice 4-5Modifier

La méthode suivante est due à François Viète (1540-1603).

  1. Montrer que pour un nombre (complexe)   donné, tout nombre   est de la forme   pour au moins un   (non nul).
  2. On suppose   et dans l'équation
     ,
    on effectue un changement de variable de la forme :
     .
    Quelle équation polynomiale en   obtient-on ?
  3. Pour quel choix du paramètre   cette équation est-elle bicarrée en   (c'est-à-dire de la forme  ) ? Préciser alors   et   et résoudre cette équation.
  4. Retrouver ainsi les formules de Cardan.

Exercice 4-6Modifier

La méthode suivante est due à Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Soient   les solutions de   (numérotées dans un ordre arbitraire). On pose :

  •   ;
  •   ;
  •  .
  1. Quel est l'effet, sur ces trois expressions, d'une permutation des   ?
  2. En déduire que  ,   et   sont des polynômes symétriques en  .
  3. Le retrouver par calcul direct, et exprimer  ,   et   en fonction de  .
  4. En déduire un algorithme pour calculer  , puis  .
  5. Retrouver ainsi les formules de Cardan.