« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions

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Robot : Changement de type cosmétique
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'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
* <math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math>
* <math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}}
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
* une partie affine : <math>x\mapsto -x+\frac52</math>
* une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto e^{-x}</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
 
'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.'''
* <math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math>
* <math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math>
 
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}}
 
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
* une partie affine : <math>x\mapsto 2x-\frac52</math>
* une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto 2e^{-x}</math>
 
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a :
 
'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
* Cette fonction se dérive comme un produit.
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>
 
'''2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>'''
* Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
** On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>
 
'''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>'''
 
* On va utiliser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math>
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math>
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math>
 
}}
| contenu =
'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math>
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 5x-2</math> et <math>v:x\mapsto e^{-x}</math>
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 5</math> et <math>v':x\mapsto -e^{-x}</math>
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}</math>
 
 
'''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math>
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^2)=(x^2+2x)e^(-x)=x(x+2)(e^-x)</math>
 
 
'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math>
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-4x}</math>
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -4e^{-4x}</math>
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}</math>
 
 
'''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math>
* On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto 2x+3</math>
* Sa dérivée est définie par <math>u':x\mapsto 2</math>
* Comme <math>f_4=e^u\,</math>, on a pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}</math>
 
 
'''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math>
* Pour tout <math>x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}</math>
 
 
'''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math>
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x</math> et <math>v:x\mapsto e^{2x-1}</math>
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 1</math> et <math>v':x\mapsto 2e^{2x-1}</math>
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}</math>
 
 
'''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math>
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}</math>
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}</math>
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}</math>}}
 
== Exercice 5 ==
[[Fichier:WV-ExoMaths00005.svg|400px]]
 
* <math>\color{red}\lambda=\frac12</math>
* <math>\color{green}\lambda=3</math>
 
 
 
 
* Comme <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0</math> et <math>\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty</math>
* Comme <math>\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty</math> et <math>\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0</math>, on a <math>\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty</math>}}
 
 
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