dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude de la fonction exponentielleFonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
ƒ est la fonction définie sur
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle [0;+\infty [}
pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
f
(
x
)
=
−
x
+
5
2
−
e
−
x
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,~f(x)=-x+{\frac {5}{2}}-e^{-x}}
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
3. Démontrer que la courbe représentative
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
4. Étudier les positions relatives de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
5. Déterminer une équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
ƒ est dérivable sur
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle [0;+\infty [}
x
∈
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle x\in [0;+\infty [}
f
′
(
x
)
=
−
1
−
(
−
1
)
×
e
−
x
=
e
−
x
−
1
{\displaystyle f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1}
Or, pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
e
−
x
≤
1
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1}
f
′
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f'(x)\leq 0}
On en déduit que ƒ est décroissante.
2. Étudier la limite de ƒ en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
x
→
+
∞
−
x
+
5
2
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty }
lim
x
→
+
∞
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0}
Donc
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty }
3. Démontrer que la courbe représentative
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
une partie affine :
x
↦
−
x
+
5
2
{\displaystyle x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}}
une partie qui tend vers 0 :
x
↦
e
−
x
{\displaystyle x\mapsto e^{-x}}
Si on pose
g
:
x
↦
−
x
+
5
2
{\displaystyle g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}
4. Étudier les positions relatives de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
Pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
−
e
−
x
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}}
Donc
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
5. Déterminer une équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D'après le cours sur la dérivation , l'équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
y
=
f
(
2
)
+
f
′
(
2
)
⋅
(
x
−
2
)
=
−
2
+
5
2
−
e
−
2
+
(
−
1
+
e
−
2
)
⋅
(
x
−
2
)
=
1
2
−
e
−
2
+
(
−
1
+
e
−
2
)
⋅
(
x
−
2
)
=
1
2
−
e
−
2
−
x
+
2
+
e
−
2
x
−
2
e
−
2
=
(
e
−
2
−
1
)
x
−
3
e
−
2
+
5
2
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}}
Donc la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
y
=
(
e
−
2
−
1
)
x
−
3
e
−
2
+
5
2
{\displaystyle y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}}
ƒ est la fonction définie sur
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle [0;+\infty [}
pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
f
(
x
)
=
2
x
−
5
2
+
2
e
−
x
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,~f(x)=2x-{\frac {5}{2}}+2e^{-x}}
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
3. Démontrer que la courbe représentative
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
4. Étudier les positions relatives de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
5. Déterminer une équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Solution
1. Étudier les variations de ƒ.
ƒ est dérivable sur
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle [0;+\infty [}
x
∈
[
0
;
+
∞
[
{\displaystyle x\in [0;+\infty [}
f
′
(
x
)
=
2
+
2
×
(
−
1
)
e
−
x
=
2
(
1
−
e
−
x
)
{\displaystyle f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})}
Or, pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
e
−
x
≤
1
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1}
f
′
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f'(x)\geq 0}
On en déduit que ƒ est croissante.
2. Étudier la limite de ƒ en
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
x
→
+
∞
2
x
−
5
2
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty }
lim
x
→
+
∞
2
e
−
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0}
Donc
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty }
3. Démontrer que la courbe représentative
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
On remarque que l’expression de ƒ admet deux membres :
une partie affine :
x
↦
2
x
−
5
2
{\displaystyle x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}}
une partie qui tend vers 0 :
x
↦
2
e
−
x
{\displaystyle x\mapsto 2e^{-x}}
Si on pose
g
:
x
↦
2
x
−
5
2
{\displaystyle g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}
4. Étudier les positions relatives de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
Pour tout
x
∈
[
0
;
+
∞
[
,
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
2
e
−
x
{\displaystyle x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}}
Donc
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
5. Déterminer une équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D'après le cours sur la dérivation , l'équation de la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
y
=
f
(
2
)
+
f
′
(
2
)
⋅
(
x
−
2
)
=
2
×
2
−
5
2
+
2
e
−
2
+
2
(
1
−
e
−
2
)
(
x
−
2
)
=
3
2
+
2
e
−
2
+
2
(
(
1
−
e
−
2
)
x
−
2
(
1
−
e
−
2
)
)
=
−
5
2
+
6
e
−
2
+
2
(
1
−
e
−
2
)
x
{\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}}
Donc la tangente à
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
y
=
2
(
1
−
e
−
2
)
x
−
5
2
+
6
e
−
2
{\displaystyle y=2(1-e^{-2})x-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
f
1
:
x
↦
(
3
x
−
2
)
e
x
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}}
2.
f
2
:
x
↦
x
2
e
−
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}}
3.
f
3
:
x
↦
3
x
e
−
3
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}}
4.
f
4
:
x
↦
7
x
e
−
x
3
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7xe^{-x}}{3}}}
Solution
Ces quatre fonctions sont définies et dérivables sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1.
f
1
:
x
↦
(
3
x
−
2
)
e
x
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto (3x-2)e^{x}}
Cette fonction se dérive comme un produit.
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
(
3
x
−
2
)
{\displaystyle u:x\mapsto (3x-2)}
v
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
3
{\displaystyle u':x\mapsto 3}
v
′
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
1
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
3
x
+
1
)
e
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^{x}}
2.
f
2
:
x
↦
x
2
e
−
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{-x}}}}
Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
On remarque que pour tout
x
∈
R
,
f
2
(
x
)
=
x
2
e
−
x
=
x
2
e
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{2}(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}=x^{2}e^{x}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
x
2
{\displaystyle u:x\mapsto x^{2}}
v
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
2
x
{\displaystyle u':x\mapsto 2x}
v
′
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
2
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
x
2
+
2
x
)
e
x
=
x
(
x
+
2
)
e
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^{2}+2x)e^{x}=x(x+2)e^{x}}
3.
f
3
:
x
↦
3
x
e
−
3
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-3x}}
On va utiliser ce théorème de niveau 11
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
3
x
{\displaystyle u:x\mapsto 3x}
v
:
x
↦
e
−
3
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{-3x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
3
{\displaystyle u':x\mapsto 3}
v
′
:
x
↦
−
3
e
−
3
x
{\displaystyle v':x\mapsto -3e^{-3x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
3
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
3
+
3
x
×
(
−
3
)
)
e
−
3
x
=
3
(
−
3
x
+
1
)
e
−
3
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times (-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}}
4.
f
4
:
x
↦
7
x
e
−
x
3
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7xe^{-x}}{3}}}
La dérivation de cette fonction nécessite le théorème de dérivation d'une fonction composée .
On a
f
4
:
x
↦
7
3
x
e
−
x
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto {\frac {7}{3}}xe^{-x}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
x
e
−
x
{\displaystyle u:x\mapsto xe^{-x}}
On dérive
f
4
{\displaystyle f_{4}}
(
k
u
)
′
=
k
u
′
{\displaystyle (ku)'=ku'}
La dérivée de
u
{\displaystyle u}
u
′
:
x
↦
e
−
x
−
x
e
−
x
{\displaystyle u':x\mapsto e^{-x}-xe^{-x}}
On obtient
f
4
′
(
x
)
=
7
3
(
e
−
x
−
x
e
−
x
)
{\displaystyle f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}(e^{-x}-xe^{-x})}
Soit, pour tout
x
∈
R
,
f
4
′
(
x
)
=
7
3
e
−
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)={\frac {7}{3}}e^{-x}(1-x)}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
f
1
:
x
↦
(
5
x
−
2
)
e
−
x
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}}
2.
f
2
:
x
↦
x
2
e
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}}
3.
f
3
:
x
↦
3
x
e
−
4
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}}
4.
f
4
:
x
↦
e
2
x
+
3
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}}
5.
f
5
:
x
↦
3
e
−
4
x
{\displaystyle f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}}
6.
f
6
:
x
↦
x
e
2
x
−
1
{\displaystyle f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}}
7.
f
7
:
x
↦
3
x
e
x
2
{\displaystyle f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}}
Solution
1.
f
1
:
x
↦
(
5
x
−
2
)
e
−
x
{\displaystyle f_{1}:x\mapsto (5x-2)e^{-x}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
5
x
−
2
{\displaystyle u:x\mapsto 5x-2}
v
:
x
↦
e
−
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{-x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
5
{\displaystyle u':x\mapsto 5}
v
′
:
x
↦
−
e
−
x
{\displaystyle v':x\mapsto -e^{-x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
1
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
5
−
(
5
x
−
2
)
)
e
−
x
=
(
−
5
x
+
7
)
e
−
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{1}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}}
2.
f
2
:
x
↦
x
2
e
x
{\displaystyle f_{2}:x\mapsto {\frac {x^{2}}{e^{x}}}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
x
2
{\displaystyle u:x\mapsto x^{2}}
v
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
2
x
{\displaystyle u':x\mapsto 2x}
v
′
:
x
↦
e
x
{\displaystyle v':x\mapsto e^{x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
2
′
(
x
)
=
(
u
′
(
x
)
v
(
x
)
−
u
(
x
)
v
′
(
x
)
)
/
(
v
(
x
)
2
)
=
(
x
2
+
2
x
)
e
(
−
x
)
=
x
(
x
+
2
)
(
e
−
x
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{2}'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^{2})=(x^{2}+2x)e^{(}-x)=x(x+2)(e^{-}x)}
3.
f
3
:
x
↦
3
x
e
−
4
x
{\displaystyle f_{3}:x\mapsto 3xe^{-4x}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
3
x
{\displaystyle u:x\mapsto 3x}
v
:
x
↦
e
−
4
x
{\displaystyle v:x\mapsto e^{-4x}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
3
{\displaystyle u':x\mapsto 3}
v
′
:
x
↦
−
4
e
−
4
x
{\displaystyle v':x\mapsto -4e^{-4x}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
3
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
3
−
4
⋅
3
x
)
e
−
4
x
=
3
(
−
4
x
+
1
)
e
−
4
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{3}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}}
4.
f
4
:
x
↦
e
2
x
+
3
{\displaystyle f_{4}:x\mapsto e^{2x+3}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
2
x
+
3
{\displaystyle u:x\mapsto 2x+3}
Sa dérivée est définie par
u
′
:
x
↦
2
{\displaystyle u':x\mapsto 2}
Comme
f
4
=
e
u
{\displaystyle f_{4}=e^{u}}
x
∈
R
,
f
4
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
e
u
(
x
)
=
2
e
2
x
+
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{4}'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}}
5.
f
5
:
x
↦
3
e
−
4
x
{\displaystyle f_{5}:x\mapsto 3e^{-4x}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
5
′
(
x
)
=
−
12
e
−
4
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{5}'(x)=-12e^{-4x}}
6.
f
6
:
x
↦
x
e
2
x
−
1
{\displaystyle f_{6}:x\mapsto xe^{2x-1}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
x
{\displaystyle u:x\mapsto x}
v
:
x
↦
e
2
x
−
1
{\displaystyle v:x\mapsto e^{2x-1}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
1
{\displaystyle u':x\mapsto 1}
v
′
:
x
↦
2
e
2
x
−
1
{\displaystyle v':x\mapsto 2e^{2x-1}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
6
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
2
x
+
1
)
e
2
x
−
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{6}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}}
7.
f
7
:
x
↦
3
x
e
x
2
{\displaystyle f_{7}:x\mapsto 3xe^{\frac {x}{2}}}
On pose sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
u
:
x
↦
3
x
{\displaystyle u:x\mapsto 3x}
v
:
x
↦
e
x
2
{\displaystyle v:x\mapsto e^{\frac {x}{2}}}
Leurs dérivées sont définies par
u
′
:
x
↦
3
{\displaystyle u':x\mapsto 3}
v
′
:
x
↦
1
2
e
x
2
{\displaystyle v':x\mapsto {\frac {1}{2}}e^{\frac {x}{2}}}
Finalement, pour tout
x
∈
R
,
f
7
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
v
(
x
)
+
u
(
x
)
v
′
(
x
)
=
(
3
2
x
+
3
)
e
x
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,f_{7}'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left({\frac {3}{2}}x+3\right)e^{\frac {x}{2}}}
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
pour tout
x
∈
R
,
f
λ
(
x
)
=
e
λ
x
+
e
−
λ
x
2
λ
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}}
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ
x
∈
R
,
f
λ
(
−
x
)
=
f
λ
(
x
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)}
3. Étudier les variations de ƒλ
+
∞
{\displaystyle +\infty }
