« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
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=== Définitions ===
{{Définition
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math> .<br />
* Un '''PGCD (Plus Grand Diviseur Commun)''' de <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est un polynôme <math>D\,</math> qui divise <math>A\,</math> et <math>B\,</math> et tel que tout diviseur commun à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> divise <math>D\,</math> (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
Ligne 128 :
}}
* <math> P|Q \iff \operatorname{pgcd}(P;Q) = P \iff \operatorname{ppcm}(P;Q) = Q\,</math> .<br />
* On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
Ligne 139 :
| titre = Lemme d'Euclide
| contenu =
Soient <math>A,B\in \mathbb K[X]\,</math>
▲<center>{{Résultat|<math>\operatorname{pgcd}(A;B) = \operatorname{pgcd}(B;Q)\,</math>}}</center>.
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il faut montrer que l'ensemble <math>\mathcal D(A;B)\,</math> des diviseurs communs à <math>A\,</math> et <math>B\,</math> est égal à <math>\mathcal D(B;Q)\,</math>.
<math>(\subset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>.
Alors <math>C|A\mathrm{\;et\;}C|B \Rightarrow C|Q = A-BP\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>. <math>(\supset)\,</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(B;Q)\,</math>.
Alors <math>C|B\mathrm{\;et\;}C|Q \Rightarrow C|A = BP+Q\,</math> d'où l'on tire que <math>C\in\mathcal D(A;B)\,</math>. On a bien l'égalité <math>\mathcal D(A;B) = \mathcal D(B;Q)\,</math> : si ces ensembles sont égaux, alors leur plus grands éléments aussi, d'où le résultat.
}}
On en déduit l'Algorithme d'Euclide :
Soient <math>(A,B)\in (\mathbb K[X])^{2}</math> tels que <math>\deg A>\deg B\,</math><br />
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