« Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions » : différence entre les versions

<center>

<math>(S_n) : \begin{array}[t]{lcl}\Bbb N &\rightarrow & \R^{\R} \\

\end{array}

\,</math>

On dit que <math>\sum f_n\,</math> '''converge simplement (CVS) vers la fonction <math>f\,</math>''' si, et seulement si, pour chaque réel <math>x\,</math> de <math>\mathcal D\,</math> la série numérique de terme général <math>(f_n(x))\,</math> converge vers le réel <math>f(x)\,</math> . <br />

Dans le "langage des <math>\varepsilon\,</math>" ,cela donne :<br />

}}

 

Soit <math>\sum f_n\,</math> une série de fonctions définies sur <math>\mathcal D\subset \R\,</math> .<br />

* On dit que <math>\sum f_n\,</math> '''converge uniformément (CVU) vers la fonction <math>f\,</math>''' si, et seulement si :<br />

* Cela équivaut à dire que la suite <math>\sup_{x\in\mathcal D} |\sum_{k=0}^n f_k(x) - f(x)|\,</math> converge vers <math>0\,</math> , c'est-à-dire :<br />

}}

 

| titre=Théorème d'interversion "somme"-limite|contenu =

Soit <math>\sum f_n \xrightarrow[n\to +\infty]{CVU} f\,</math> sur <math>\mathcal D \subset \R\,</math> et soit <math>a\in \mathcal D\,</math> .<br /><br />

Alors on a :<br />

<center>{{Résultat|<math>\lim_{x\to a} \left(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\lim_{x\to a} f_n(x)\right)\,</math>}}</center>}}