Suites et séries de fonctions/Séries de fonctions

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On considère là encore des fonctions d'une variable réelle.

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Définition : Série de fonctions

Une série de fonctions est une série $\sum f_{n}$ à valeurs dans $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ (l'ensemble des fonctions d'une variable réelle), c'est-à-dire qu'elle associe à chaque entier naturel $n$ la fonction $S_{n}$ :

$(S_{n}):{\begin{array}{lcl}\mathbb {N} &\rightarrow &\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\\n&\mapsto &S_{n}={\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}}\end{array}}$

(exemple à faire)

Convergence simple

Définition : Convergence simple d'une série de fonctions

Soit $\sum f_{n}$ une série de fonctions définies sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ .
On dit que $\sum f_{n}$ converge simplement (CVS) vers la fonction $f$ si, et seulement si, pour chaque réel $x$ de ${\mathcal {D}}$ la série numérique de terme général $(f_{n}(x))$ converge vers le réel $f(x)$ .
Dans le "langage des $\varepsilon$" , cela donne :

$\forall x\in {\mathcal {D}},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon ,x}\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq n_{\varepsilon ,x}\Rightarrow \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

On remarquera qu'une série de fonctions est une suite de fonctions particulière au même titre qu'une série numérique est une suite numérique particulière. De plus, la convergence simple d'une série de fonctions n'est en fait rien d’autre que la convergence simple de la suite de ses sommes partielles. (exemple à faire)

Convergence uniforme

Définition : Convergence uniforme d'une série de fonctions

Soit $\sum f_{n}$ une série de fonctions définies sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ .

• On dit que $\sum f_{n}$ converge uniformément (CVU) vers la fonction $f$ si, et seulement si :

$\forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ \forall x\in {\mathcal {D}},\ n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow \left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

.

• Cela équivaut à dire que la suite $\sup _{x\in {\mathcal {D}}}|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)|$ converge vers $0$ , c'est-à-dire :

$\forall \varepsilon >0,\ \exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,\ n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow \sup _{x\in {\mathcal {D}}}\left|\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$

.

Convergence normale

Définition : Convergence normale d'une série de fonctions

Soit $\sum f_{n}$ une série de fonctions définies sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$.

On dit que $\sum f_{n}$ converge normalement (CVN) si $\sum {\|f_{n}\|}_{\infty }$ converge.

Cela équivaut à dire qu'il existe une série numérique convergente $\sum a_{n}$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in {\mathcal {D}}\quad |f_{n}(x)|\leq a_{n}$.

Propriétés des séries de fonctions

Ces théorèmes se démontrent en utilisant les théorèmes correspondants sur les suites de fonctions.

Début d’un théorème

Théorème

• Toute série de fonctions normalement convergente est uniformément convergente.
• Toute série de fonctions uniformément convergente est simplement convergente.

Fin du théorème

Dans chaque cas, la réciproque est fausse.

Début d’un théorème

Théorème d'interversion "somme"-limite

Soit $\sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f$ sur ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R}$ et soit $a\in {\mathcal {D}}$ .

On suppose que $\forall n\in \mathbb {N} ,\ \lim _{x\to a}f_{n}(x)\in \mathbb {R}$.
Alors on a :

$\lim _{x\to a}\left(\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }\left(\lim _{x\to a}f_{n}(x)\right)$

Fin du théorème

On parle aussi de passage à la limite terme à terme.

Corollaire

La limite uniforme d'une série de fonctions continues est continue.

Début d’un théorème

Théorème : Dérivation terme à terme

Soit $\sum f_{n}^{'}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}g$ sur un intervalle réel ${\mathcal {D}}$ (bien sûr, les fonctions $f_{n}$ sont supposées dérivables sur ${\mathcal {D}}$) et soit $\sum f_{n}(a){\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}f(a)$ pour un certain $a\in {\mathcal {D}}$.

Alors, sur ${\mathcal {D}}$, $\sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVS}}f$ pour une certaine fonction $f$ dérivable et $f'=g$, autrement dit :

$\left(\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}\right)^{'}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}^{'}(x)$.

Fin du théorème

Corollaire : Intégration terme à terme

Soit $\sum f_{n}{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{CVU}}f$ sur $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ; les fonctions $f_{n}$ sont supposées continues sur $[a,b]$.

Alors :

$\int _{a}^{b}\left(\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}\right)(x)\;\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\;\mathrm {d} x$.

La théorie de Lebesgue donne un théorème d'intégration terme à terme des séries de fonctions intégrables :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonction continues par morceaux d'un intervalle réel $I$ dans $\mathbb {R}$. On suppose :

1. la série de fonctions $\sum _{n\geq 0}f_{n}$ converge simplement sur $I$ ;
2. la somme de cette série $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}$ est continue par morceaux sur $I$ ;
3. la série $\sum _{n\geq 0}\int _{I}|f_{n}|$ converge.

Alors $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}$ est intégrable sur $I$ et :

$\int _{I}\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\int _{I}f_{n}$.

Dans le cas où les $f_{n}$ sont toutes positives, on a la même égalité en supposant seulement 1 et 2.

Fin du théorème