« Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers » : différence entre les versions
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Ce n'est plus une ébauche |
→Exercice 1 : +++ |
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Ligne 19 :
# On pose <math>F=\{f\in E~/~f(0)=\alpha,~f(1)=\beta\}</math>. Calculer <math>\inf_{f\in F} \int_0^1 f^2(t)+f'^2(t)\,{\rm d}t</math>
{{Solution
# On reconnait <math>(\cdot|\cdot)</math> comme étant le produit scalaire sur <math>\mathcal C^1([0;1],\R)</math>.
#* La bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale.
#* La symétrie est évidente.
#* Il reste à montrer que cette forme est définie positive. Soit <math>f \in \mathcal C^2([0;1],\R)</math>.
#*:<math>(f|f)=0 \Leftrightarrow \int_0^1 f(t)^2\,{\rm d}t \Leftrightarrow 0</math>.
#:<math>(\cdot|\cdot)</math> est donc bien un produit scalaire sur ''E''.
#
## Soient <math>v \in V, w \in W</math>. Une intégration par parties donne :
##:<math>(v|w) = \int_0^1\left[v(t)w(t)+v'(t)w'(t)\right]\,{\rm d}t = \int_0^1 v(t)w(t) \,{\rm d}t + \left[v(t) w'(t) \right]_0^1- \int_0^1 v(t)w''(t)\,{\rm d}t</math>.
##:Or, <math>v \in V \Rightarrow \left[v(t) w'(t) \right]_0^1 = 0</math> et donc :<math>(v|w) = \int_0^1 v(t) (w(t) - w''(t)) \,{\rm d}t=0</math>, car <math>w \in W</math>.
## Soit <math>f \in E</math>. On remarque que <math>f - f(0) (1-x) - f(1) x \in V</math>.
}}
== Exercice 2 ==
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