En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Exercices divers Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On reconnait comme étant la restriction du produit scalaire canonique sur :
la bilinéarité vient de la linéarité de la dérivation et de l'intégrale ;
la symétrie est évidente ;
cette forme est définie positive car pour toute fonction non nulle, .
est donc bien un produit scalaire sur et, par restriction, sur E. On pourrait d'ailleurs remplacer partout dans l'énoncé par (la définition de garde un sens et ses éléments sont automatiquement de classe ) sans changer un iota de ce qui suit.
Soient et . Une intégration par parties donne :
.
Soit . Notons , et cherchons tels que la fonction (qui appartient à donc à ) vérifie : . Ainsi, sera le projeté orthogonal de sur (et cela prouvera de plus que et sont non seulement orthogonaux, mais supplémentaires). La condition sur est :
Fixons une base orthonormée d'un plan contenant et . La matrice dans cette base de la forme quadratique (restreinte au plan) est diagonalisable dans une base orthonormée et ses deux valeurs propres sont (avec comme vecteurs propres ). Ce sont donc les valeurs minimum et maximum (atteintes) de la forme quadratique sur le cercle unité du plan, ou encore, de sur .
Soient un espace préhilbertien de dimension , un vecteur unitaire de , et définie par .
Démontrer que est une forme quadratique sur . Pour quels est-elle définie positive ?
Solution
est la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique .
Pour tout , par Cauchy-Schwarz, et ces bornes sont atteintes (respectivement pour orthogonal à et pour colinéaire à ). Donc est définie positive si et seulement si .
Démontrer l'existence d'une famille de polynômes telle que et .
Démontrer qu'alors, chaque polynôme admet racines simples dans .
Solution
L'application est un produit scalaire sur . En appliquant à la base canonique l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient une base de orthonormée pour ce produit scalaire.
Soit m ≤ n le nombre des points de où Pn change de signe ; notons ces points (ce sont les racines de Pn d'ordre impair appartenant à ). On va montrer que m = n. Soit ; ce polynôme de degré m change de signe en chaque point xj ; le polynôme SPn est donc strictement positif, ou strictement négatif, partout sur sauf aux points xj, et il en est donc de même du produit . Ainsi, le réel — l'intégrale de ce produit — est non nul. Mais par construction, Pn est orthogonal à tous les polynômes de degré inférieur, donc le degré de S doit être n.
Soit un espace vectoriel euclidien. Les similitudes de sont les automorphismes de qui conservent l'orthogonalité :
.
Elles forment un sous-groupe de . On considère par ailleurs le normalisateur de :
.
Montrer que est inclus dans (on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude , il existe un unique couple tel que ).
On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit et deux vecteurs orthogonaux de .
Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale telle que et . Soient et les sous-espaces propres de associés à et respectivement (donc et ).
(Re)démontrer que et que .
Montrer que est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera et les sous-espaces propres de associés à et respectivement. En déduire que et sont en somme directe et sont orthogonaux.
Montrer que et .
Conclure.
D'après la question 2.4, définit par restriction une application linéaire de dans d'une part, une application linéaire de dans d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.
Solution
Soit avec et . Pour tout on a .
Puisque , il existe supplémentaires orthogonaux tels que et (par exemple le s.e.v. engendré par et ). La symétrie orthogonale par rapport à un tel répond à la question.
D'une part est une symétrie, donc , donc le polynôme annule , donc est diagonalisable et ses valeurs propres appartiennent à , donc . D'autre part donc donc , donc .
D'une part et donc (par définition de ) . D'autre part donc est une symétrie. Donc est une symétrie orthogonale donc (cf. sous-question précédente) et sont supplémentaires orthogonaux.
. En particulier donc et donc .
D'après la sous-question 4 précédente, et donc d'après la sous-question 3, . On a donc prouvé (pour tout ) que si alors , c'est-à-dire que . Donc .
Puisque , on a donc (en remplaçant par et échangeant les rôles de et dans 2.4) . La restriction de , de dans , est donc un isomorphisme (dont l'isomorphisme réciproque est la restriction de , de dans ). Idem en remplaçant par .