Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers

Exercices divers
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Exercices no5
Leçon : Espace préhilbertien réel

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Projection orthogonale
Exo suiv. :Produit scalaire
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Exercice 5-1

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 .

On pose  .

  1. Vérifier que   est un produit scalaire sur E.
  2. On pose   et  .
    1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
    2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
  3. On pose  . Calculer  .

Exercice 5-2

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Soient   et   deux vecteurs d'un espace préhilbertien  . On pose  .

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de   sur  .

Soient   un espace préhilbertien de dimension  ,   un vecteur unitaire de  ,   et   définie par  .

Démontrer que   est une forme quadratique sur  . Pour quels   est-elle définie positive ?

Exercice 5-3

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Soit   continue strictement positive.

  1. Démontrer l'existence d'une famille   de polynômes telle que   et  .
  2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme   admet   racines simples dans  .

Exercice 5-4

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Soient   l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans   de classe C1 et   l'application définie sur   par :

 .

Montrer que   est une norme euclidienne sur   et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.

Exercice 5-5

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Soit   un espace vectoriel euclidien. Les similitudes de   sont les automorphismes de   qui conservent l'orthogonalité :

 .

Elles forment un sous-groupe de  . On considère par ailleurs le normalisateur de   :

 .
  1. Montrer que   est inclus dans   (on pourra utiliser, sans le redémontrer, le fait que, pour toute similitude  , il existe un unique couple   tel que  ).
  2. On souhaite montrer l'inclusion réciproque. Soit   et   deux vecteurs orthogonaux de  .
    1. Montrer qu'il existe une symétrie orthogonale   telle que   et  . Soient   et   les sous-espaces propres de   associés à   et   respectivement (donc   et  ).
    2. (Re)démontrer que   et que  .
    3. Montrer que   est d'une part une transformation orthogonale, d'autre part une symétrie. On notera   et   les sous-espaces propres de   associés à   et   respectivement. En déduire que   et   sont en somme directe et sont orthogonaux.
    4. Montrer que   et  .
    5. Conclure.
  3. D'après la question 2.4,   définit par restriction une application linéaire de   dans   d'une part, une application linéaire de   dans   d'autre part. Montrer que ce sont des isomorphismes.