Espace préhilbertien réel/Exercices/Exercices divers

Exercices divers
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Exercices no5
Leçon : Espace préhilbertien réel

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Calcul d'intégrales
Exo suiv. :Exercices sur le produit scalaire
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Exercice 5-1Modifier

 .

On pose  .

  1. Vérifier que   est un produit scalaire sur E.
  2. On pose   et  .
    1. Vérifier que V et W sont orthogonaux.
    2. Exprimer la projection orthogonale de E sur V.
  3. On pose  . Calculer  .

Exercice 5-2Modifier

Soient   et   deux vecteurs de  . On pose  .

Déterminer les bornes inférieure et supérieure de   sur  .

Exercice 5-3Modifier

Soit   continue strictement positive.

  1. Démontrer l'existence d'une famille   de polynômes telle que   et  .
  2. Démontrer qu'alors, chaque polynôme   admet   racines simples dans  .

Exercice 5-4Modifier

Soient   l'espace vectoriel des fonctions de [0, 1] dans   de classe C1 et   l'application définie sur   par :

 .

Montrer que   est une norme euclidienne sur   et déterminer le produit scalaire auquel elle est associée.