« Statique des fluides/Exercices/Ecoulement » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Lydie Noria a déplacé la page Statique des fluides/Exercices/Ecoulement (En cours) vers Statique des fluides/Exercices/Ecoulement sans laisser de redirection : Correction erreur de nomination |
Aucun résumé des modifications |
||
Ligne 8 :
}}
[[File:Ecoulement 1.png||Ajouter une légende ici]]
{{Solution
Ligne 46 ⟶ 33 :
}}
2. Retrouver les équations des lignes de courant revient à intégrer la relation suivante :
<math>\frac{dx}{v_x} = \frac{dy}{v_y} = \frac{dz}{v_z}</math>
Dans notre cas, v_z est nulle : il faut intégrer la relation <math>\frac{dx}{v_x} = \frac{dy}{v_y}</math><br />
<math> \frac{dx}{v_x} = \frac{dy}{v_y} & \Leftrightarrow & dx.v_y = dy.v_x </math><br />
<math> a(y-y_0) = 2btx^2 - btx_0^2 </math><br />
Soit : <math>y = Ax^2 + C</math>
Avec : <math>A = \frac{2bt}{a}</math>
et
<math>C = -\frac{btx_0^2 + ay_0}{a}</math>
Le temps est ici considérer comme une constante car les lignes de courant sont tracer à un instant t fixé.
[[File:Ecoulement 2.png||Ajouter une légende ici]]
3. Par définition de l'accélération d'Euler, on a :
<math>\vec{a} = \frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v}.\vec{grad}(\vec{v}) = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \frac 12 \vec{grad}(v^2) + \vec{rot}\vec{v} \wedge \vec{v} </math>
Le choix de l'une ou l'autre formule permet bien entendu d'arriver au même résultat. Il est plus commode d'utiliser l'une ou l'autre selon la situation. On apprendra à déceler les situations qui se prêtent le mieux à chacune des équations au fur et mesure que l'ont traitera des cas différents.
d'où <math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2bx \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \vec{grad} \begin{pmatrix} a^2 \\ 4b^2t^2x^2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2bt \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} a \\ 2btx \\ 0 \end{pmatrix}</math>
et donc <math> \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2bx \\ 0 \end{pmatrix} + \frac 12 \begin{pmatrix} 8b^2t^2x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4b^2t^2x \\ 2bta \\ 0 \end{pmatrix}</math>
Soit <math>\vec{a} = 2b\begin{pmatrix} 0 \\x+ta \\ 0 \end{pmatrix}</math>
}}
| |||