« Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen » : différence entre les versions
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Ligne 1 :
{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
Ligne 50 ⟶ 48 :
Nous allons voir plusieurs applications de l’inégalité de Jensen.
== Application 1 : Comparaison entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique==
{{propriété
|contenu =
Soit
On a :
<math>\left( \prod_{i=1}^n
Autrement dit la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique.
Ligne 88 ⟶ 87 :
== Application 2 : Comparaison entre moyenne arithmétique et moyenne harmonique ==
{{propriété
|contenu =
<math> \forall n \in \N^* \qquad \forall p \in \N^* \qquad \forall (x_1,\cdots,x_n) \in (\R_+)^n \qquad \sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \leqslant \left(\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{\frac 1p} </math>
}}
{{démonstration
|contenu =
Considérons la fonction f définie par :
Ligne 109 ⟶ 114 :
<math> \sum_{k=1}^n \frac{x_k}n \leqslant \left(\frac 1n \sum_{k=1}^n x_k^p \right)^{\frac 1p} </math>
}}
{{remarque
Ligne 122 ⟶ 128 :
}}
== Application 3 : Démonstration de l'inégalité de Holder==
{{propriété
| Inégalité de Holder
| contenu =
Soit p, q ∈ ℝ<sub>+</sub><sup>*</sup> et vérifiant :
Ligne 132 ⟶ 142 :
<math> \sum_{i=0}^n a_ib_i \leqslant \left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>
}}
{{démonstration
|contenu =
Appliquons l’inégalité de Jensen avec n=2, λ<sub>1</sub>=1/p, λ<sub>2</sub>=1/q, f(x)=-ln(x), x<sub>1</sub>>0, x<sub>2</sub>>0.
Ligne 173 ⟶ 184 :
<math> \sum_{i=0}^n a_ib_i \leqslant \left( \sum_{i=0}^n a_i^p \right)^{\frac 1p} \left( \sum_{i=0}^n b_i^q \right)^{\frac 1q} </math>
}}
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