« Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
maintenance |
|||
Ligne 16 :
'''2.''' Démontrer que l'équation <math>u(x) = 0</math> admet une solution unique <math>\alpha</math> dans <math>[0;1]</math>.
'''3.''' Donner
'''4.''' Dresser le tableau de signe de <math>u(x)</math> en justifiant.
{{clr}}
{{Solution
'''1.''' On utilise les formules des dérivées sur les sommes et les produits de fonctions.
<math>u'(x) = - 2 e^{2x} + ( -2x + 1 ) 2 e^{2x} = -2e^{2x} -4xe^{2x} + 2e^{2x} = - 4xe^{2x} </math>
'''2.''' Sur l'intervalle <math>[0;1],-4x \le 0 </math> et pour tout x <math> , e^{2x} > 0</math>
donc <math> u' \le 0 </math>
et la fonction <math> u </math> est strictement décroissante sur <math>[0;1]</math>
On calcule <math> u(0) = 2 </math> et <math> u(1) = 1 - e^{2} < 0 </math>
Finalement, la fonction <math> u </math> est continue, strictement décroissante sur l'intervalle <math>[0;1]</math> et <math>u(1) < 0 < u(0)</math>.
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique <math>\alpha</math> dans <math>[0;1]</math> vérifiant <math>u( \alpha ) = 0</math>.
'''3.''' Encadrement de <math>\alpha</math> au centième : <math> 0.63 < \alpha < 0.64 </math>.
'''4.'''
[[File:Tableau variations .png|thumb|left|800px ]]
}}
== Exercice 2 ==
| |||