Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones

Fonctions continues strictement monotones
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Exercices no3
Leçon : Continuité et variations
Chapitre du cours : Fonctions continues strictement monotones

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Théorème des valeurs intermédiaires
Exo suiv. :Variations d'une fonction
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Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones
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Exercice 3-1Modifier

Soit   définie par  .

  1. Vérifier que pour tout   de  ,  .
  2. Démontrer que l'équation   admet une solution unique   dans  .
  3. Donner un encadrement de   au centième.
  4. Dresser le tableau de signe de   en justifiant.

Exercice 3-2Modifier

Soit   une fonction définie et continue sur   dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :

x
   
f(x)
 
 
 

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

1. Démontrer qu’il existe un réel   tel que pour tout  , on ait  .

2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation   admet une solution unique sur  .

3. En déduire que l'équation   admet une solution unique sur  .

4. Démontrer que   ne s'annule pas sur  .