Continuité et variations/Exercices/Fonctions continues strictement monotones
Exercice 3-1
modifierSoit définie par .
- Vérifier que pour tout de , .
- Démontrer que l'équation admet une solution unique dans .
- Donner un encadrement de au centième.
- Dresser le tableau de signe de en justifiant.
Solution
- On utilise les formules des dérivées sur les sommes et les produits de fonctions. .
- D'après la question précédente, est strictement décroissante donc il existe au plus un tel . Pour montrer qu'il en existe un, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires : et et la fonction est continue (puisqu'elle est même dérivable).
- .
- D'après les questions 1 et 2, . Le tableau de signe de est donc :
Exercice 3-2
modifierSoit une fonction définie et continue sur dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :
x |
| |||||||||
f(x) |
|
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.
1. Démontrer qu’il existe un réel tel que pour tout , on ait .
2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation admet une solution unique sur .
3. En déduire que l'équation admet une solution unique sur .
4. Démontrer que ne s'annule pas sur .
Solution
- .
- est strictement monotone (donc injective) et continue + + théorème des valeurs intermédiaires.
- Conséquence immédiate de la question précédente et de l'injectivité de .
- Si alors (puisque ) : contradiction.