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« Initiation aux systèmes d'équations/Mise en équation d'un problème » : différence entre les versions

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rédaction
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| style="text-align: center; background-color:#f57900; width:60px;min-height:80px;" |[[File:White open book.svg|40px]]
|valign="top" style="padding-left:20px"| '''Problème.'''
Un libraire vend des cahiers rouges et des cahiers bleus. Les cahiers rouges valent 5 euros et les cahiercahiers bleus valent 7 euros. Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers. Il passe à la caisse et paye 69 euros. Combien a t-il acheté de cahiers rouges et combien à t'il acheté de cahiercahiers bleus ?
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<br />
 
Pour pouvoir résoudre ce problème, nous allons le traduire en équationéquations. C'est ce que l'on appelle mettre un problème en équation. C'est un peu comme traduire un texte dans une autre langue. Mais ici, au lieu de traduire certaines phrases en anglais par exemple, nous allons les traduire par une équation. Ne vous effrayez pas, en fait, c'est très simple !
 
 
Pour résoudre ce problème, on considère généralement quatresquatre étapes.
 
 
==== Première étape : Choix des inconnues ====
 
Pour fabriquer un système d'équationéquations, il nous faut des inconnues x, y, z etc. On va dire que les inconnues, c'est ce que l'on ne connaitconnaît pas et que l'on nous demande de calculer. Dans notre problème, on nous demande de calculer le nombre de cahiers rouges achetés par le client et le nombre de cahiers bleus achetés par le client. Nous dirons donc, par exemple, que x est le nombre de cahiers rouges achetéachetés par le client et y le nombre de cahiercahiers bleubleus achetéachetés par le client. On aurait pu faire l'inverse, peu importe !
 
Pour rédiger, on dira :
 
Soit x le nombre de cahiers rouges achetéachetés par le client.
 
Soit y le nombre de cahiercahiers bleubleus achetéachetés par le client.
 
 
==== Deuxième étape : Mise en équation du problème ====
 
Dans cette étape, nous allons considérer l'une après l'autre, toutes les phrasephrases du problème et voir si l'on peut en déduire une relation entre x et y.
 
 
'''Première phrase''' : Un libraire vend des cahiers rouges et des cahiers bleus.
 
x et y concerneconcernent le nombre de cahiercahiers achetéachetés par le client. Comme le client n'est pas encore arrivé, on ne peut rien en déduire sur x et y.
 
 
'''Deuxième phrase''' : Les cahiers rouges valent 5 euros et les cahiercahiers bleus valent 7 euros.
 
ÇaCela se précise, on sait maintenant combien valent les cahiers rouges et combien valent les cahiers bleus, mais le client n'est toujours pas arrivé et on ne peut donc toujours rien dire sur x et y.
 
 
'''Troisième phrase''' : Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers.
 
Ça y est, le client est là et l'on sait qu'il achète 11 cahiers. HorsOr on sait que x est le nombre de cahiers rouges achetés par le client et y est le nombre de cahiers bleus achetéachetés par le client. Comme il a acheté en tout 11 cahiers, on en déduit que x + y = 11.
 
"x + y = 11" est la traduction mathématiquesmathématique de la phrase "Un client entre dans la librairie et achète 11 cahiers". Qui a dit que les maths, c'estétait compliqué ! Essayez de traduire cette phrase en chinois !
 
 
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"5x + 7y = 69" est la traduction mathématique de la phrase "Il passe à la caisse et paye 69 euros".
 
 
'''cinquième phrase''' : Combien a t-il acheté de cahiers rouges et combien à t'il acheté de cahiers bleus ?
 
Cette phrase ne nous apprend rien de plus sur x et y. Nous en resterons donc là
 
 
Si l'on récapitule, nous avions deux inconnues et deux phrases de l'énoncé du problème nous ont permis de trouver deux relations reliant x et y. Il ne nous reste plus qu'à réunir ces deux relations en un système d'équations. Nous obtenons :
 
<math> \begin{cases}
x+y=11 \\
5x+7y=69
\end{cases}</math>
 
 
==== Troisième étape : Résolution du système ====
 
Grâce au chapitre précédent, nous allons résoudre le système :
 
<math> \begin{cases}
x+y=11 \\
5x+7y=69
\end{cases}</math>
 
Pour cela, nous allons multiplier les deux membres de la première équation par 7 et les deux membres de la deuxième équation par -1. Nous obtenons :
 
<math> \begin{cases}
7x+7y=77 \\
-5x-7y=-69
\end{cases}</math>
 
En additionnant membre à membre, nous obtenons après simplification :
 
<math>2x=8</math>
 
En divisant les deux membres de cette dernière équation par 2, nous obtenons :
 
<math>x=4</math>
 
Et comme nous savons que x + y = 11, nous en déduisons immédiatement que y = 7 (puisque 4 + 7 = 11).
 
 
==== Quatrième étape : Conclusion ====
 
Nous avons trouvé que x = 4 et y = 7. Comme x représentait le nombre de cahiers rouges achetés par le client et y le nombre de cahiers bleus achetés par le client, nous pouvons conclure que :
 
 
Le client a acheté 4 cahiers rouges et 7 cahiers bleus.
 
 
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| idfaculté = mathématiques
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