« Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives » : différence entre les versions
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Ligne 29 :
| contenu =
<math>f(x)=\frac4{4x-3}</math>
* <math>u(x)=4x-3
* <math>u'(x)=4
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3)
Ligne 43 :
| contenu =
<math>f(x)=\frac1{2x+1}</math>
* <math>u(x)=2x+1
* <math>u'(x)=2
* On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac2{2x+1}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
* On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac1{2x+1} \cdot2 \cdot\frac12=\frac12\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
Ligne 58 :
| contenu =
<math>f(x)=\frac{-3}{4x-3}</math>
* <math>u(x)=4x-3
* <math>u'(x)=4
* On aimerait bien faire apparaître le terme <math>\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac4{4x-3}</math> dans l'expression de ''ƒ''.
* On manipule ''ƒ'' pour ce faire : pour tout <math>x\in I,~f(x)=\frac{-3}{4x-3} \cdot \frac4{-3} \cdot\frac{-3}4=\frac{-3}4\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
Ligne 76 :
| contenu =
<math>f(x)=\frac{2x+4}{x^2+4x-3}</math>
* <math>u(x)=x^2+4x-3
* <math>u'(x)=2x+4
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^2+4x-3)
Ligne 90 :
| contenu =
<math>f(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+1}</math>
* <math>u(x)=x^2-4x+1
* <math>u'(x)=2x-4=2(x-2)
* On s'aperçoit que pour tout <math>x\in I, f(x)=\frac{u'(x)}{2u(x)}</math>
* Comme les constantes multiplicatives sont transparentes à la « primitivation », une primitive de ''ƒ'' est la fonction ''F'' définie par pour tout <math>x\in I,~F(x)=\frac12\ln(u(x))=\frac12\ln(x^2-4x+1)
== Primitive prenant une valeur fixée ==
{{Propriété
| contenu =
Deux nombres réels ''a'' et ''b'' étant fixés, '''il existe une unique primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(a)=b
Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.}}
Ligne 107 :
* <math>f:x\mapsto\frac{x^2}{x^3+1}</math>, définie sur <math>\R^+</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' sur <math>\R^+</math> telle que <math>F(2)=-3
* Pour tout <math>x\in\R^+,~u(x)=\cdots</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in \R^+,~F_0(x)=\cdots</math>
Ligne 119 :
| contenu =
* On pose :
<math>\forall x\in\R^+,~u(x)=x^3+1</math>, soit <math>u'(x)=3x^2
* On écrira donc :
<math>f(x)=\frac13\frac{3x^2}{x^3+1}</math>
Ligne 127 :
<math>\forall x\in \R^+,~F(x)=F_0(x)+K=\frac13\ln(x^3+1)+K</math>
* <math>-3=F(2)\,=\frac13\ln(9)+K=\frac23\ln(3)+K</math>
* Donc <math>K=-3-\frac23\ln(3)
Finalement, la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(2) = -3'' est définie par :
Ligne 135 :
* <math>f:x\mapsto\frac{-x}{x^2+5}</math>, définie sur <math>\R</math>
Déterminer la primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que <math>F(-1)=3
* Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=\cdots</math>
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in\R,~F_0(x)=\cdots</math>
Ligne 146 :
{{Solution
| contenu =
* Pour tout <math>x\in\R,~u(x)=x^2+5</math>, soit <math>u'(x)=2x
* Donc une primitive de ''ƒ'' est définie par pour tout <math>x\in\R,~F_0(x)=-\frac12\ln(x^2+5)</math>
* La primitive ''F'' de ''ƒ'' telle que ''F(-1) = 3'' est définie par pour tout <math>x\in \R,~F(x)=F_0(x)+K=-\frac12\ln(x^2+5)+K</math>
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