Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives

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Principe

Propriété

Soit u une fonction dérivable à valeurs strictement positives sur ℝ. Alors :

• La fonction $f:x\mapsto \ln(u(x))$ est dérivable sur ℝ
• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}$

Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme ${\frac {u'}{u}}$, quitte à « compenser » l'expression par une constante multiplicative.

Inverse d’une fonction affine

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle I où cela est possible.

• $f(x)={\frac {4}{4x-3}}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u'(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \quad \forall x\in \ I$

Solution

$f(x)={\frac {4}{4x-3}}$

• $u(x)=4x-3$
• $u'(x)=4$
• On s'aperçoit que, pour tout $x\in I,f(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}$
• Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\ln(u(x))=\ln(4x-3)\quad \forall x\in I$

 

• $f(x)={\frac {1}{2x+1}}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u'(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \quad \forall x\in I$

Solution

$f(x)={\frac {1}{2x+1}}$

• $u(x)=2x+1$
• $u'(x)=2$
• On aimerait bien faire apparaître le terme ${\frac {u'(x)}{u(x)}}={\frac {2}{2x+1}}$ dans l’expression de ƒ.
• On manipule ƒ pour réaliser cela : pour tout $x\in I,~f(x)={\frac {1}{2x+1}}\cdot 2\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {u'(x)}{u(x)}}$
• Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de ƒ est la fonction F définie par : $F(x)={\frac {1}{2}}\ln(u(x))={\frac {1}{2}}\ln(2x+1)=\ln({\sqrt {2x+1}})\quad \forall x\in I$

 

• $f(x)={\frac {-3}{4x-3}}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u'(x)=\cdots$
  • Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\cdots \quad \forall x\in I$

Solution

$f(x)={\frac {-3}{4x-3}}$

• $u(x)=4x-3$
• $u'(x)=4$
• On aimerait bien faire apparaître le terme ${\frac {u'(x)}{u(x)}}={\frac {4}{4x-3}}$ dans l’expression de ƒ.
• On manipule ƒ pour réaliser cela : pour tout $x\in I,~f(x)={\frac {-3}{4x-3}}\cdot {\frac {4}{-3}}\cdot {\frac {-3}{4}}={\frac {-3}{4}}{\frac {u'(x)}{u(x)}}$
• Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de ƒ est la fonction F définie par : $F(x)={\frac {-3}{4}}\ln(u(x))=-{\frac {3}{4}}\ln(4x-3)=-\ln({\sqrt[{4}]{4x-3}}^{3})\quad \forall x\in I$

 

Remarque : La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.

Si u n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à u’

• $f(x)={\frac {2x+4}{x^{2}+4x-3}}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u'(x)=\cdots$
  • Donc $F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)={\frac {2x+4}{x^{2}+4x-3}}$

• $u(x)=x^{2}+4x-3$
• $u'(x)=2x+4$
• On s'aperçoit que, pour tout $x\in I,f(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}$
• Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par :$F(x)=\ln(u(x))=\ln(x^{2}+4x-3)\quad \forall x\in I$

 

• $f(x)={\frac {x-2}{x^{2}-4x+1}}$
  • $u(x)=\cdots$
  • $u'(x)=\cdots$
  • Donc $F(x)=\cdots$

Solution

$f(x)={\frac {x-2}{x^{2}-4x+1}}$

• $u(x)=x^{2}-4x+1$
• $u'(x)=2x-4=2(x-2)$
• On s'aperçoit que, pour tout $x\in I,f(x)={\frac {u'(x)}{2u(x)}}$
• Comme les constantes multiplicatives sont transparentes au calcul intégral, une primitive de ƒ est la fonction F définie par : $F(x)={\frac {1}{2}}\ln(u(x))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}-4x+1)=\ln({\sqrt {x^{2}-4x+1}})\quad \forall x\in I$

 

Primitive prenant une valeur fixée

Propriété

Deux nombres réels a et b étant fixés, il existe une unique primitive F de ƒ telle que $F(a)=b$.

Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.

Problématique : On désire trouver la primitive F de ƒ telle que F(a) = b en fixant correctement la constante K.

• $f:x\mapsto {\frac {x^{2}}{x^{3}+1}}$, définie sur $\mathbb {R} ^{+}$

Déterminer la primitive F de ƒ sur $\mathbb {R} ^{+}$ telle que $F(2)=-3$.

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ^{+},~u(x)=\cdots$
• Donc une primitive de ƒ est définie par :$F_{0}(x)=\cdots \quad \forall x\in \mathbb {R} ^{+}$
• La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :$F(x)=F_{0}(x)+K=\cdots +K\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{+}$
• $-3=F(2)=\cdots$
• Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :$F(x)=\cdots \quad \forall x\in \mathbb {R} ^{+}$

Solution

• On pose :

$\forall x\in \mathbb {R} ^{+},~u(x)=x^{3}+1$, soit $u'(x)=3x^{2}$

• On écrira donc :

$f(x)={\frac {1}{3}}{\frac {3x^{2}}{x^{3}+1}}$

• Donc une primitive de ƒ est définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F_{0}(x)={\frac {1}{3}}\ln(u(x))={\frac {1}{3}}\ln(x^{3}+1)$

• La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)=F_{0}(x)+K={\frac {1}{3}}\ln(x^{3}+1)+K$

• $-3=F(2)\,={\frac {1}{3}}\ln(9)+K={\frac {2}{3}}\ln(3)+K$
• Donc $K=-3-{\frac {2}{3}}\ln(3)$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :

$\forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)={\frac {1}{3}}\ln(x^{3}+1)-3-{\frac {2}{3}}\ln(3)$

 

• $f:x\mapsto {\frac {-x}{x^{2}+5}}$, définie sur $\mathbb {R}$

Déterminer la primitive F de ƒ telle que $F(-1)=3$.

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots$
• Donc une primitive de ƒ est définie par : $F_{0}(x)=\cdots \quad \forall x\in \mathbb {R}$
• La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=F_{0}(x)+K=\cdots +K\quad \forall x\in \mathbb {R}$
• $3=F(-1)=\cdots$
• Donc $K=\cdots$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=\cdots \quad \forall x\in \mathbb {R}$

Solution

• Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~u(x)=x^{2}+5$, soit $u'(x)=2x$
• Donc une primitive de ƒ est définie par : $F_{0}(x)=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)\quad \forall x\in \mathbb {R}$
• La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=F_{0}(x)+K=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)+K\quad \forall x\in \mathbb {R}$
• $3=F(-1)=-{\frac {1}{2}}\ln(6)+K$
• Donc $K=3+{\frac {1}{2}}\ln(6)$

Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par : $F(x)=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)+3+{\frac {1}{2}}\ln(6)\quad \forall x\in \mathbb {R}$