« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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m →Primitives d'une fonction : ortho |
m →Intégration par parties : mef |
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Ligne 171 :
{{Théorème
| titre = Formule : Intégration par parties|contenu =
Soient <math>u</math> et <math>v</math> deux fonctions de classe <math>\mathcal C^1</math> sur <math>[a;b]</math>
On a alors :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b u'(x)v(x)\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\mathrm{d}x.</math>}}</center>}}
{{Démonstration déroulante|contenu =
Il suffit d'utiliser la formule de dérivation d'un produit :
<math>(uv)'=u'v+uv' \Rightarrow u'v = (uv)'-uv' \Rightarrow \int u'(x)v(x)\mathrm{d}x = \left[u(x)v(x)\right] - \int u(x)v'(x)\mathrm{d}x</math> , d'où le résultat.}}
'''Exemples :'''
1/ Calculer <math>\int xe^x \mathrm{d}x</math>
On intègre par parties en posant :<br />▼
<math>u(x) = x \Rightarrow u'(x) =1</math><br />▼
<math>v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) =e^x</math>.<br />▼
On a donc :<br />▼
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int xe^x \mathrm{d}x = xe^x -\int e^x\mathrm{d}x = (x-1)e^x + C \;(C\in \R)</math>}}</center>.<br />▼
2/ <u>'''Une double intégration par parties :'''</u><br />▼
On intègre par parties en posant :<br />▼
<math>u(x) = e^x \Rightarrow u'(x) = e^x</math><br />▼
<center>{{Encadre|contenu=<math>
On a donc :<br />▼
<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x \cos x +\int e^x \cos x\mathrm{d}x </math>.<br />▼
Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :<br />▼
Calculer <math>
<math>v'(x) = \cos x \Rightarrow v(x) = \sin x</math>.<br />▼
On a donc :<br />▼
<math>\int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x \sin x -\int e^x \sin x\mathrm{d}x </math>. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?<br />▼
<math>v'(x) = \sin x \Leftarrow v(x) = -\cos x.</math>
▲<math>\int e^x \cos x \mathrm{d}x = e^x \sin x -\int e^x \sin x\mathrm{d}x </math>. On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?
{{boîte déroulante|titre = Solution : on retombe sur ses pieds et le serpent garde sa queue !|contenu =
En fait, il suffit "d'injecter" le résultat obtenu pour <math>\int e^x \cos x \mathrm{d}x</math> dans le résultat obtenu dans la première intégration par parties ; on obtient :
<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x \cos x +{\color{Blue}\int e^x \cos x\mathrm{d}x} = -e^x\cos x + {\color{Blue}e^x \sin x - \int e^x \sin x\mathrm{d}x}.</math
Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x</math> et on a :<br />▼
<math>2\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)</math>, d'où l'on tire : <br />▼
▲Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x</math> et l'on a :
▲<math>2\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)</math>, d'où l'on tire :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C \;(C\in \R)</math>}}</center>}}
3/ Calculer <math>\int \ln x \mathrm{d}x.</math>
On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x</math> (et c'est bien ce qu'on cherche L'astuce dans ces cas-là (une fonction "seule" dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :
▲<math>u(x) = \ln x \Rightarrow u'(x) =\frac{1}{x}</math><br />
On a donc :<br />▼
<math>
Donc (c'est un résultat à retenir) :<br />▼
(On a remarqué que <math>\ln x = 1\times \ln x</math> , tout simplement !)
▲
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int \ln x \mathrm{d}x = x\ln x - x + C \;(C\in \R)</math>}}</center>
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