Intégration de Riemann/Intégrale et primitives

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Intégrale et primitives
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Chapitre no 3
Leçon : Intégration de Riemann
Chap. préc. :Propriétés de l'intégrale
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Intégration de Riemann/Intégrale et primitives
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Primitives d'une fonctionModifier

Le calcul de primitive est l'opération inverse du calcul de dérivée.


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On a les propriétés suivantes en utilisant les propriétés de la dérivation :

  Attention !   n'est pas une primitive de  , car sa dérivée est  , qui n'a aucune raison d'être égale à  .

Contre-exemple : Soient les fonctions   et  . On montre facilement que   et   sont des primitives respectivement de   et   mais pourtant :

1/   n’est pas une primitive de   puisque

  ;

2/   est une primitive de   car :

 .

Primitives usuellesModifier

Soient   des constantes et   un entier relatif.

Tableau des primitives simples
     
     
     
  ( )   si  ;   sinon  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Le théorème fondamental de l'analyse : lien intégrale-primitivesModifier

Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarques :

  • Dans la première partie du théorème, la variable   est la « borne d’en haut » de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de « l'intégrale fonction de la borne d’en haut ».
  • Ce théorème montre que toute fonction continue admet des primitives.

Exemples :

  1.  
  2.  
  3.  

Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) : Soit   une fonction définie sur un intervalle   admettant des primitives.

On note  , l'ensemble de toutes les primitives de   sur l'intervalle  .

Donc, si   est une primitive de   sur   :  

Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de   : il faut toutefois bien garder à l'esprit qu’il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près.

Méthodes de calcul intégralModifier

La principale méthode utilisée pour calculer des intégrales est d’abord l'usage du théorème fondamental de l'analyse.

Notez qu'on n'utilise (presque) jamais la définition théorique de l'intégrale pour calculer une intégrale.

Intégration par partiesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples :

1/ Calculer  .

On intègre par parties en posant :

 

 

On a donc :

 


2/ Une double intégration par parties :

Calculer  .

On intègre par parties en posant :

 

 

On a donc :

 

Pour calculer la dernière intégrale, on intègre (encore) par parties en posant :

 

 

On a donc :

 . On est revenu à l'intégrale qu'on voulait calculer : le serpent se mord la queue ! Est-on réellement bloqué pour autant ?

3/ Calculer  

On ne connaît pas a priori de primitive de   (et c’est bien ce qu'on cherche).

L'astuce dans ces cas-là (une fonction « seule » dont on ne connaît que la dérivée mais pas la primitive) consiste à intégrer par parties en posant :

 

 .

(On a remarqué que  , tout simplement !)

On a donc :

 

Donc (c'est un résultat à retenir) :

 .


On montre en fait plus généralement (et sans plus de difficulté) que pour tout réel   :

  :



Changement de variablesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque : Une fonction   bijective de classe   dont la réciproque est alors de classe   est appelée un  -difféomorphisme.

Pour utiliser cette formule en pratique :

  • poser   et donc   ;
  • changer les bornes d'intégration : si  , alors   et si   , alors   .

Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.

Exemples :

1/  .

On a fait le changement de variables   et  .

Pour les bornes : si  , alors   et si  , alors  .

2/   puisque  .

On pose   donc  .
Alors   à une constante près.

On a posé   et donc  .

Intégration des fractions rationnellesModifier

Pour intégrer une fraction rationnelle (si la solution ne peut être trouvée directement avec les méthodes ci-dessus), il faut la décomposer en éléments simples . L'intégration devient ensuite relativement aisée sauf lorsqu'on rencontre des éléments simples de deuxième espèce de la forme :

   et  .

Pour calculer  , il faut :

1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur :

 . La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de  . C'est ce calcul que l’on va chercher maintenant à effectuer.

2/ Remplacer   par sa forme canonique :

On obtient  .

On cherche à calculer  .

3/ Calculer   :

  • Si  , alors on obtient   (voir « fonction arctan »).
  • Si  , alors on pose   et l'on a (tous calculs faits…) :

 , qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.

Règles de Bioche : intégration des fractions rationnelles en cos x et sin xModifier

Voir Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques.