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« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

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== Le Théorème Fondamental de l'Analyse : lien intégrale-primitives ==
Voici maintenant le lien entre l'intégration et les primitives :<br />
 
{{Théorème
| titre = Théorème Fondamental de l'Analyse (Leibniz-Newton)|contenu =
Soit <math>f</math> une fonction continue sur un intervalle <math>[a;b](a,b\in \R)</math> .<br />
* La fonction <math>F : x \mapsto \int_a^x f(t)\mathrm{d}t</math> est '''l'unique primitive de <math>f</math> qui s'annule en <math>a</math> .'''
* On en déduit que pour toute primitive <math>F</math> de <math>f</math> :<brcenter>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>}}</center>}}
 
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>}}</center>}}
<u>Remarques :</u> <br />
* Dans la première partie du Théorème, la variable <math>x</math> est la "borne d'en haut" de l'intégrale : c'est pour cela qu'on parle parfois de "l'intégrale fonction de la borne d'en haut".
* Dans la deuxième partie du Théorème, la primitive <math>F</math> choisie est quelconque et ce n'est pas nécessairement celle donnée dans la première partie.
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{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0</math> .<br />Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0) \,\forall x_0 \in \R</math> .<br />On a :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t\right)</math><br />donc : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} =\frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t + \int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t \right)</math> <br />(on a décomposé la première intégrale grâce à la Relation de Chasles)<br />et finalement : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t</math> ,c'est-à-dire la valeur moyenne <math>\mu</math> de <math>f</math> entre <math>x_0</math> et <math>x</math> (ou <math>x</math> et <math>x_0</math> , selon leur ordre).<br />Mais <math>f</math> est continue sur <math>[a;b]</math> et l'Inégalité de la moyenne montre que <math>\min_{t \in [x_0,x]} f(t) \le \mu \le \max_{t \in [x_0,x]} f(t)</math> , donc le [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité|Théorème des Valeurs Intermédiaires]] assure qu'il existe <math>c_{x_0}\in [x_0;x]</math> tel que <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \mu = f(c_{x_0})</math> .<br />Comme <math>c_{x_0}</math> est compris entre <math>x_0</math> et <math>x</math> (ou <math>x</math> et <math>x_0</math>), le Théorème des Gendarmes assure que <math>\lim_{x\to x_0} c_{x_0} = x_0</math> et (par continuité de <math>f</math>) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} f(c_{x_0}) = f(x_0)</math> : c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.
* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0</math> .<br />
* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du Théorème.<br />Alors <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = G(b) = G(b) - G(a)</math> puisque <math>G(a) = 0</math> .<br />Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffère de <math>G</math> par une constante <math>k\in \R</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;b]</math> et :<br /><math>F(b)-F(a) = (G(b)+k)-(G(a)+k) = G(b)-G(a)= G(b) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}
Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0) \,\forall x_0 \in \R</math> .<br />
 
On a :<br />
'''Exemples :'''<br />▼
<math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t\right)</math><br />
donc : #<math>\fracint_0^1 x^2\mathrm{F(x)-F(x_0)d}{x-x_0} = \left[\frac{1x^3}{x-x_03}\left(\int_aright]_0^{x_0}1 f(t)=\mathrmfrac{d}t + \int_{x_0}1^{x3} f(t)\mathrm{d3}t - \int_afrac{0^{x_03} f(t)\mathrm{d3}t = \right)frac13.</math> <br />
1/ #<math>\int_0int_2^15 x^2 \mathrm{d}x dx= \left[\frac{x^3}{3}\right]_0_2^1 5=\frac{1^3125}{3}-\frac{0^3}{3} frac83= \frac{1117}{3}=39.</math><br />▼
(on a décomposé la première intégrale grâce à la Relation de Chasles)<br />
2/ #<math>\int_0^1 e^{2x} \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right] = \frac{e^2-1}{2}.</math><br /> .▼
et finalement : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t</math> ,c'est-à-dire la valeur moyenne <math>\mu</math> de <math>f</math> entre <math>x_0</math> et <math>x</math> (ou <math>x</math> et <math>x_0</math> , selon leur ordre).<br />
Mais <math>f</math> est continue sur <math>[a;b]</math> et l'Inégalité de la moyenne montre que <math>\min_{t \in [x_0,x]} f(t) \le \mu \le \max_{t \in [x_0,x]} f(t)</math> , donc le [[Fonctions d'une variable réelle/Continuité|Théorème des Valeurs Intermédiaires]] assure qu'il existe <math>c_{x_0}\in [x_0;x]</math> tel que <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \mu = f(c_{x_0})</math> .<br />
Comme <math>c_{x_0}</math> est compris entre <math>x_0</math> et <math>x</math> (ou <math>x</math> et <math>x_0</math>), le Théorème des Gendarmes assure que <math>\lim_{x\to x_0} c_{x_0} = x_0</math> et (par continuité de <math>f</math>) que <math>\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x\to x_0} f(c_{x_0}) = f(x_0)</math> : c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.
* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du Théorème.<br />
Alors <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = G(b) = G(b) - G(a)</math> puisque <math>G(a) = 0</math> .<br />
Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffère de <math>G</math> par une constante <math>k\in \R</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;b]</math> et :<br />
<math>F(b)-F(a) = (G(b)+k)-(G(a)+k) = G(b)-G(a)= G(b) = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x</math>, ce qui est le résultat annoncé.}}
▲'''Exemples :'''<br />
▲1/ <math>\int_0^1 x^2\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}</math><br />
▲2/ <math>\int_0^1 e^{2x} \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right] = \frac{e^2-1}{2}</math><br /> .
 
<u>'''Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) :'''</u>
Soit <math>f</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I</math> admettant des primitives.<br />
 
On note <math>\int f(x)\mathrm dx</math>, l''''ensemble de toutes les primitives de <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math>'''.<br />
Donc,On sinote <math>F\int f(x)\mathrm dx</math>, est unel''''ensemble primitivede toutes les primitives de <math>f</math> sur l'intervalle <math>I</math> : <math>\int f(x)\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k | k\in \R\}</math>'''.<br />
 
Donc, si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> : <math>\int f(x)\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k | k\in \R\}.</math>
 
Par abus de langage, cette notation désigne aussi une primitive quelconque de <math>f</math> : '''il faut toutefois bien garder à l'esprit qu'il existe une infinité de primitives définies à une constante additive près'''.
<br />
 
== Méthodes de calcul intégral ==
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