« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions

* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0</math> .<br />Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que<br /><math>\forall x_0 \in \R\quad\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0) \,\forall x_0 \in \R.</math> .<br />OnLa arelation de Chasles donne :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t\right)=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t</math><br />donc :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} -f(x_0)=\frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t + \int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{(x-x_0} )f(tx_0)\mathrm{d}t \right)</math> <br />(on a décomposé la première intégrale grâce à la Relation de Chasles)<br />et finalement : <math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} \left(f(t)-f(x_0)\right)\mathrm{d}t.</math><br ,c'est-à-dire la valeur moyenne/>Soit <math>\muvarepsilon>0</math>. Par continuité de <math>f</math> entreau point <math>x_0</math>, etil <math>x</math> (ouexiste <math>x</math\eta> et <math>x_00</math> ,tel selon leur ordre).que<br />Mais <math>f</math>\forall est continue sur <math>[a;b]</math> et l'Inégalité de la moyenne montre que <math>\min_{t \in [x_0-\eta,xx_0+\eta]} \quad|f(t) -f(x_0)|\le \mu \le \max_{t \in [x_0,x]} f(t)varepsilon</math><br , />donc letel [[Fonctions d'une variableque<br réelle/Continuité|Théorème des Valeurs Intermédiaires]] assure qu'il existe ><math>c_{x_0}\forall x\in [x_0;x-\eta,x_0+\eta]</math> tel que <math>\quad\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = \mu = -f(c_{x_0})</math> .<br />Comme <math>c_{x_0}</math> est compris entre <math>x_0</math> et <math>x</math> (ou <math>x</math> et <math>x_0</math>), \right|\le Théorème des Gendarmes assure que <math>\lim_frac{x\to x_01} c_{x-x_0} = x_0</math> et (par continuité de <math>f</math>) que <math>\lim_int_{x\to x_0} ^x\frac{Fleft|f(xt)-Ff(x_0)}\right|\mathrm{x-x_0d} = t\lim_{xle\to x_0} f(c_{x_0}) = f(x_0)varepsilon</math> : c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.