« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1</math> et <math>g : x \mapsto e^x</math> .
On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x</math> et <math>G:x\mapsto e^x</math> sont des primitives respectivement de <math>f</math> et <math>g</math> , mais pourtant :<br />
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x</math> n'est pas une primitive de <math>fg</math> puisque <br><math>(FG)'(x) = (F'G+FG')(x) = (x+1)e^x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)e^x \ne fg(x) \,\forall x \in \R</math> ;<br />
2/ <math>\varphi :x \mapsto xe^x</math> est une primitive de <math>fg</math> car :<br />
<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R</math> .
Ligne 51 ⟶ 50 :
{{Propriété|contenu = Soit <math>f</math> une fonction continue.
* Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> , alors <math>\forall k \in \R , G : x \mapsto F(x)+k</math> est aussi une primitive de <math>f</math> .
* Soient <math> x_0,y_0 \in \R</math> fixés.
Il existe une '''unique''' primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math> .}}
{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que si <math>F'=f</math> , alors <math>G' = F' = f</math> (la dérivée d'une fonction constante est nulle) donc que <math>G</math> est une autre primitive de <math>f</math> .
* '''Existence :'''
Soit <math>G</math> une primitive quelconque de <math>f</math> .(On montrera plus loin que toute fonction continue admet au moins une primitive).<br />
Alors en posant <math>F : x\mapsto G(x)-G(x_0)+y_0</math> , on peut vérifier facilement qu'on obtient une primitive de <math>f</math> telle que <math>F(x_0) = y_0</math>.<br />
Ligne 255 ⟶ 254 :
Pour utiliser cette formule en pratique :<br />
* poser <math>x = \varphi(t)</math> et donc <math>\mathrm{d}x = \varphi'(t)\mathrm{d}t</math> ;
* '''changer les bornes d'intégration''' : si <math>x=\alpha=\varphi(t)</math> , alors <math>t = a</math> et si <math>x=\beta=\varphi(t)</math> , alors <math>t=b</math> .
Remarquez que cette formule s'utilise dans les deux sens, comme le montrent les exemples.<br />
'''Exemples :'''<br />
Ligne 278 ⟶ 277 :
On cherche à calculer <math>\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n} = \int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n}</math><br />
'''3/ Calculer <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n}</math> :'''<br />
* Si <math>n = 1</math> , alors on obtient <math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)} = \frac{1}{k}\operatorname{arctan}\left(\frac{t}{k}\right)</math>.
* Si <math>n\ne 1</math>, alors on pose <math>u =\operatorname{arctan}(\frac{t}{k})</math> et on a (tous calculs faits...) :
<math>\int \frac{\mathrm{d}t}{(t^2+k^2)^n} = k^{1-2n}\int \cos ^{2n-2}u \;\mathrm{d}u</math> qu'on calcule par linéarisation avec les formules d'Euler.
(exemples à faire)
Ligne 288 ⟶ 287 :
* de <math>x</math> en <math>-x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \cos x</math> ;
* de <math>x</math> en <math>\pi -x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \sin x</math> ;
* de <math>x</math> en <math>\pi +x</math> , alors il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan x</math> .
Sinon, il faut effectuer le changement de variables <math>t = \tan (\frac{x}{2})</math> .}}
(exemples à faire)
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