« Limites d'une fonction/Opérations sur les limites » : différence entre les versions
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Les lettres ''a'', ''b'' et ''c'' désignent soit des nombres réels, soit <math>+\infty</math>, soit <math>-\infty</math>.
Soit la fonction composée <math>g \circ f</math> définie sur un intervalle <math>I</math> contenant <math>a</math>, ou dont <math>a</math> est une borne.
<center>Si <math>\lim_{x \to a}f(x) = b</math> et si <math>\lim_{y \to b}g(y) = c</math> alors <math>\lim_{x \to a}(g \circ f)(x) = c</math>.</center>
=== Interprétation schématique ===
<center><math>
\begin{array}{ccccc}
I & \overset f{\longrightarrow} & J & \overset{g}{\longrightarrow} & \R\\
a & \to & \underset{x\to a}{\lim}f(x) & & \\
& & \shortparallel & & \\
& & b & \to & \underset{y\to b}{\lim}g(y) \\
& & & & \shortparallel \\
& & & &c\\
\end{array}
</math></center>
=== Exemple de la racine carrée ===
Ligne 74 ⟶ 87 :
\end{array}</math>
==== Rédaction à tenir ====
Prenons
{{Exemple
| contenu =
On recherche la limite de la fonction <math>x\mapsto\sqrt{2+\frac1x}</math> en <math>+\infty</math>.}}
{{principe|titre=Méthode pour la limite d'une composée|contenu=
Ligne 104 ⟶ 116 :
}}
====Deuxième exemple====
Appliquons cette méthode dans le cas suivant :
Ligne 116 ⟶ 128 :
{{Encadre|contenu=Donc <math>\lim_{x\to0^+} \sqrt{2+\frac1x}=+\infty</math>}}}}
=== Troisième exemple ===
{{Exemple
| contenu =
On recherche la limite de la fonction <math>]1,+\infty[\to\R,\quad x\mapsto\ln \left(\frac x{x-1}\right)</math> en <math>1^+</math>.}}
On peut schématiser le problème par :
<center><math>
\begin{array}{ccccc}
x & \to & \cfrac x{x-1} & & \\
& & \shortparallel & & \\
& &y& \to & \ln y\\
1^+ & \to & +\infty & \to & +\infty
\end{array}
</math></center>
Plus formellement :
* <math>\lim_{x\to 1^+} \frac x{x-1} = +\infty</math> ;
* <math>\lim_{y\to +\infty} \ln y= +\infty</math>.
Par composition de limites : <math>\lim_{x\to 1^+}\ln \left(\frac x{x-1}\right)= +\infty</math>
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