« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Sur tout ensemble, on peut définir une distance en posant : <math>d(x,y)=1</math> si <math>x\ne y</math> et <math>d(x,x)=0</math>.
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{{Exemple
| titre=Exemple : distance uniforme
| contenu =
Soient <math>(E,d)</math> un espace métrique, <math>X</math> un ensemble, et <math>E^X</math> l'ensemble des applications de <math>X</math> dans <math>E</math>. On définit <math>d_{\infty}:E^X\times E^X\to\left[0,+\infty\right]</math> par : <math>d_{\infty}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>. Ce n'est en général pas une distance sur <math>E^X</math> car elle peut prendre la valeur <math>+\infty</math>. Mais l'application <math>e_{\infty}:=\min(1,d_{\infty})</math> est une distance sur <math>E^X</math>, qui induit la [[Topologie générale/Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|topologie de la convergence uniforme]]. Le sous-espace des applications bornées est fermé dans <math>E^X</math> et sur ce sous-espace, <math>d_{\infty}</math> est une distance, [[w:Équivalence des distances|uniformément équivalente]] à <math>e_{\infty}</math>.
}}
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