« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Soient <math>(E,d)</math> et <math>(F,d')</math> deux espaces métriques. Une application <math>f:E\to F</math> est dite uniformément continue si :
<center><math>\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall(x,y)\in E\times E\quad\left(d(x,y)\le\delta\Rightarrow d'(f(x),f(y))\le\varepsilon\right). </math></center>
}}
{{Exemple|titre=Exemple d'application uniformément continue|contenu=
L'application <math>f:\R_+\to\R,\ x\mapsto\sqrt x</math> est uniformément continue. En effet, [[w:Condition de Hölder#Fonction puissance|on démontre facilement]] la majoration suivante :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}</math>.</center>Pour tout réel <math>\varepsilon>0</math>, en choisissant <math>\delta=\varepsilon^2</math>, on en déduit :<center><math>\forall x,y\in\R_+\quad\left|x-y\right|\le\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|=\left|\sqrt x-\sqrt y\right|\le\sqrt{\left|x-y\right|}\le\sqrt{\delta}=\varepsilon.</math></center>
}}
{{Exemple|titre=Exemple d'application non uniformément continue|contenu=
L'application <math>g:\R\to\R,\ x\mapsto x^2</math> n'est pas uniformément continue. En effet, montrons que :<center><math>\exists\varepsilon>0\quad\forall\delta>0\quad\exists(x,y)\in\R\times\R\quad\left|x-y\right|\le\delta\text{ et }\left|g(x)-g(y)\right|>\varepsilon</math>.</center>Il suffit de choisir <math>\varepsilon=2</math>. Pour tout <math>\delta>0</math>, soit <math>x</math> (resp. <math>y</math>) le réel égal à <math>\frac1{\delta}+\delta</math> (resp. <math>\frac1{\delta}</math>). Alors :<center><math>\left|x-y\right|\le\delta\quad\text{et}\quad\left|g(x)-g(y)\right|=\left(\frac1{\delta^2}+2\delta\frac1{\delta}+\delta^2\right)-\frac1{\delta^2}=2+\delta^2>\varepsilon</math>,</center>ce qui termine la démonstration.
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