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« Application linéaire/Exercices/Application directe » : différence entre les versions

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→‎Être ou ne pas être une application linéaire ? : Non au mépris (gratuit donc inéluctablement réciproque) et au dressage à l'absence d'observation et de réflexion (l'infantilisation est l'exact inverse de l'éducation)
Ligne 11 :
 
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
*<math>\begin{array}{ccccc}
u_1&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&x-y+3z
\end{array}</math>
*<math>\begin{array}{ccccc}
u_2&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&-x-2yy+23
\end{array}</math>
*<math>\begin{array}{ccccc}
u_3&:&\R^3&\rightarrow&\R\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&xz(x-y)z
\end{array}</math>
*<math>\begin{array}{ccccc}
u_4&:&\R^3&\rightarrow&\R^2\\
~&~&(x,y,z)&\mapsto&y(x-y,z)
\end{array}</math>
 
 
{{Solution
| titre = Solution u₁
| contenu =<math>u_1</math> est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées <math>(1,-1,3)</math> donc c'est une forme linéaire.
| contenu =
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
 
On a :
<math>\begin{align}u_1(\lambda v_1+v_2)&=u_1(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2,\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda x_1+x_2-(\lambda y_1+y_2)+3(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (x_1-y_1+3z_1)+(x_2-y_2+3z_2)
\end{align}</math>
 
De plus :
<math>\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)=\lambda(x_1-y_1+3z_1)+(x_2-y_2+3z_2)</math>
 
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_1(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_1(v_1)+u_1(v_2)</math>
 
{{Encadre
| couleur = vert
| contenu =
Donc ''u₁'' est une application linéaire.
}}
}}
 
Ligne 56 ⟶ 36 :
| titre = Solution u₂
| contenu =
<math>u_2(0,1,0)=0</math> etn'est pas linéaire car <math>u_2(0,20,0)=-2\ne0</math>.
 
Or, si u₂ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_2(0,2,0)=2\,u_2(0,1,0)</math>
 
{{Encadre
| couleur = vert
| contenu =
''u₂'' n’est pas une application linéaire.
}}
}}
 
Ligne 70 ⟶ 42 :
| titre = Solution u₃
| contenu =
<math>u_3</math> n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur <math>v\in\R^3</math> et tout scalaire <math>\lambda\in\R</math>, <math>u_3(\lambda v)=\lambda^2 u_3(v)</math> est différent de <math>\lambda u_3(v)</math> dès que <math>u_3(v)\ne0</math> et <math>\lambda^2\ne\lambda</math> (exemple : <math>v=(1,0,1)</math> et <math>\lambda=2</math>).
<math>u_3(1,0,1)=1</math> et <math>u_3(2,0,2)=4</math>
 
Or, si u₃ était une application linéaire, on devrait avoir <math>u_3(2,0,2)=2\,u_3(1,0,1)</math>
 
{{Encadre
| couleur = vert
| contenu =
''u₃'' n’est pas une application linéaire.
}}
}}
 
{{Solution
| titre = Solution u₄
| contenu =<math>u_4</math> est linéaire. Cela vient du fait que <math>u_4(v)=(f(v),g(v))</math> où <math>f</math> et <math>g</math> sont les formes linéaires produit scalaire par <math>(1,-1,0)</math> et <math>(0,0,1)</math>. On systématisera cet argument au chapitre « [[../../Matrice/]] », mais on peut déjà le voir sur cet exemple :
| contenu =
Soit <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2</math> avec
<math>v_1\begin{array}{|l}x_1\\y_1\\z_1\end{array}</math> et <math>v_2\begin{array}{|l}x_2\\y_2\\z_2\end{array}</math>
 
pour tous vecteurs <math>v_1,v_2</math> et tout scalaire <math>\lambda</math>, on a (par linéarité de <math>f</math> et <math>g</math> et par définition des opérations sur l'espace vectoriel d'arrivée <math>\R^2</math>) :
On a :
:<math>\begin{align}u_4\left(\lambda v_1+v_2\right)&=\left(f\left(\lambda v_1+v_2\right),g\left(\lambda v_1+v_2\right)\right)\\&=\left(\lambda f\left(v_1\right)+f\left(v_2\right),\lambda g\left(v_1\right)+g\left(v_2\right)\right)\\&=\lambda\left(f\left(v_1\right),g\left(v_1\right)\right)+\left(f\left(v_2\right),g\left(v_2\right)\right)\\&=\lambda u_4\left(v_1\right)+u_4\left(v_2\right).\end{align}</math>
<math>\begin{align}u_4(\lambda v_1+v_2)&=u_4(\lambda x_1+x_2,\lambda y_1+y_2,\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda y_1+y_2-(\lambda z_1+z_2)\\
&=\lambda (y_1-z_1)+y_2-z_2
\end{align}</math>
 
De plus :
<math>\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)=\lambda(y_1-z_1)+(y_2-z_2)</math>
 
Donc pour tout <math>(\lambda,v_1,v_2)\in\R\times\left(\R^3\right)^2,~u_4(\lambda v_1+v_2)=\lambda u_4(v_1)+u_4(v_2)</math>
 
{{Encadre
| couleur = vert
| contenu =
''u₄'' est une application linéaire.
}}
}}
 
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