Application linéaire/Exercices/Application directe
Être ou ne pas être une application linéaire ?Modifier
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire car .
- n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur et tout scalaire , est différent de dès que et (exemple : et ).
- est linéaire. Cela vient du fait que où et sont les formes linéaires produit scalaire par et . On systématisera cet argument au chapitre « Matrice/Matrice d'une application linéaire », mais on peut déjà le voir sur cet exemple :
- pour tous vecteurs et tout scalaire , on a (par linéarité de et et par définition des opérations sur l'espace vectoriel d'arrivée ) :
Pour chaque couple d'espaces vectoriels et chaque application , indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.
- , , , , , .
- , , , , .
- , , .
- , , , , .
-
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire car .
- est l'application produit scalaire par le vecteur de coordonnées donc c'est une forme linéaire.
- n'est pas linéaire mais quadratique : pour tout vecteur et tout scalaire , est différent de dès que et (exemple : et ).
-
- est l'application linéaire de matrice .
- n'est pas linéaire car .
- n'est pas linéaire car ne l'est pas : .
- est l'application linéaire de matrice .
- est l'application linéaire de matrice .
- et sont linéaires car les applications de dérivation ou d'évaluation en un point le sont. n'est pas linéaire mais quadratique (exemple : ).
BijectivitéModifier
Montrer que l'application
est un automorphisme de et calculer l'automorphisme réciproque.
est l'application linéaire de matrice .
donc est une application linéaire bijective (c'est-à-dire un automorphisme), et sa bijection réciproque est l'automorphisme .
Autrement dit : , ou encore : , c'est-à-dire que est une symétrie.
Montrer que l'application définie par est bijective et calculer son inverse.
donc est bijective et sa bijection réciproque est donnée par
- .
Soit .
- Soient deux à deux distincts et l'application définie par . Montrer que est linéaire et bijective.
- Soient . Montrer qu'il existe un unique polynôme tel que . Calculer , et .
- est linéaire car ses composantes (évaluation en un point) le sont. Son noyau est réduit à car un polynôme non nul de degré ne peut pas avoir racines. Elle est donc injective. Comme ses espaces de départ et d'arrivée ont même dimension ( ), elle est finalement bijective. Voir aussi Interpolation de Lagrange.
- L'existence et l'unicité de sont garanties par la bijectivité de . Voir aussi Polynômes de Tchebychev.
- .
- .
- .
Forme linéaireModifier
Soient deux réels, le -espace vectoriel des applications continues de dans , et .
Montrer que l’application
est une forme linéaire sur .
est un -espace vectoriel et est bien à valeurs dans . Vérifions qu'elle est linéaire. Soient et .
Applications linéaires proportionnellesModifier
Soient telles que
- .
Montrer que est la composée de par une homothétie de , c.-à-d. :
- .
Le résultat étant immédiat si est l'application nulle, supposons .
Pour tout tel que , notons l'unique scalaire tel que .
Soient , d'images non nulles par .
- Si est libre alors car
- .
- Si ( ) alors donc , si bien que
- .
Dans les deux cas, on en déduit que . Ainsi, tous les (pour ) sont égaux à un même scalaire .
L'égalité étant aussi vérifiée pour les tels que , la conclusion s'ensuit.
Une base adaptéeModifier
Pour tout , on note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré dans .
Soit l'application définie par .
- Démontrer que est linéaire.
- Démontrer que pour tout dont le degré est ; en déduire le noyau de .
- On considère , pour tout . Démontrer que pour tout .
- Démontrer que est une base de .
- Soit .
- Démontrer que .
- Pour tout , donner une méthode permettant de calculer tel que .
- Calculer tel que et . En déduire la somme pour tout .
- Calculer de même pour tout .
- On vérifie sans peine que et .
- Si alors donc . Réciproquement, si est constant alors . Donc (le sous-espace des polynômes constants).
- On vérifie sans peine que .
- donc est libre donc c'est une base de (car cet espace est de dimension ).
-
- Conséquence immédiate des questions précédentes.
- Si , le polynôme convient.
- avec donc .
- avec donc .
Isométries planesModifier
Soit . On considère comme un -espace vectoriel et l'on fixe la base .
- Montrer que est -linéaire.
- Calculer .
- Existe-t-il et tels que et ? Si c'est le cas, déterminer un tel et un tel .
- Décrire géométriquement .
- Soit . Calculer et décrire géométriquement .
- est composée des applications ( -linéaire) et ( - donc -linéaire) : . Donc est -linéaire.
- donc , donc et .
- . Or , et .
Le système précédent se réécrit donc
Une solution est donc .
De même,
Une solution est donc .
Ou globalement :
et de même, . - est une base de , car -libre (en fait, ) et est la symétrie par rapport à , parallèlement à (c.-à-d. la symétrie orthogonale par rapport à ).
- avec , donc est la rotation d'angle .
On pouvait d'ailleurs le trouver directement : .