Application linéaire/Exercices/Application directe

Application directe
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Exercices no1
Leçon : Application linéaire
Chapitre du cours : Définitions

Exercices de niveau 14.

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Application linéaire/Exercices/Application directe
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Être ou ne pas être une application linéaire ?Modifier

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

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  •  

Pour chaque couple   d'espaces vectoriels et chaque application  , indiquer si elle est linéaire ou non en justifiant la réponse.

  1.  ,  ,  ,  ,  ,  .
  2.  ,  ,  ,  ,  .
  3.  ,  ,  .
  4.  ,  ,  ,  ,  .

BijectivitéModifier

Montrer que l'application

 

est un automorphisme de   et calculer l'automorphisme réciproque.

Montrer que l'application   définie par   est bijective et calculer son inverse.

Soit  .

  1. Soient   deux à deux distincts et   l'application définie par  . Montrer que   est linéaire et bijective.
  2. Soient  . Montrer qu'il existe un unique polynôme   tel que  . Calculer  ,   et  .

Forme linéaireModifier

Soient   deux réels,   le  -espace vectoriel des applications continues de   dans  , et  .

Montrer que l’application

 

est une forme linéaire sur  .

Applications linéaires proportionnellesModifier

Soient   telles que

 .

Montrer que   est la composée de   par une homothétie de  , c.-à-d. :

 .

Une base adaptéeModifier

Pour tout  , on note   le sous-espace vectoriel des polynômes de degré   dans  .

Soit   l'application définie par  .

  1. Démontrer que   est linéaire.
  2. Démontrer que   pour tout   dont le degré est   ; en déduire le noyau de  .
  3. On considère  ,   pour tout  . Démontrer que   pour tout  .
  4. Démontrer que   est une base de  .
  5. Soit  .
    1. Démontrer que  .
    2. Pour tout  , donner une méthode permettant de calculer   tel que  .
    3. Calculer   tel que   et  . En déduire la somme   pour tout  .
    4. Calculer de même   pour tout  .

Isométries planesModifier

Soit  . On considère   comme un  -espace vectoriel et l'on fixe la base  .

  1. Montrer que   est  -linéaire.
  2. Calculer  .
  3. Existe-t-il   et   tels que   et   ? Si c'est le cas, déterminer un tel   et un tel  .
  4. Décrire géométriquement  .
  5. Soit  . Calculer   et décrire géométriquement  .