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}}
LaCette propriété précédenteest nous permetl'ingrédient de considérerl'une lades notiondeux définitions (clairement équivalentes) de dl'idéal engendré par une partie :
{{Définition
|contenu =
Soit <math>X</math> une partie de <math>A</math>. On appelle '''idéal engendré''' par <math>X</math>, et l'on note <math>(X)</math>, :
*l'intersection de tous les idéaux de <math>A</math> contenant <math>X</math>,
ou cencore :
*l'est-à-direensemble <math>(X)des =\!\!\!\![[Espace \bigcap_{I\text{vectoriel/Définitions#Combinaison idéallinéaire|combinaisons delinéaires]], }à coefficients dans <math>A</math>,\ I\supsetd'éléments X}\!\!\!\!de I<math>X</math>.
C'est donc le plus petit idéal de <math>A</math> contenant <math>X</math>.
}}
{{Exemple
{{Propriété
|contenu=
On appelle '''idéal principal''' tout idéal engendré par un singleton.
Soit <math>a\in A</math>. L'idéal engendré par <math>\{a\}</math>, que l’on note <math>a A</math> ou encore, par abus de notation, <math>(a)</math> est <math>(a) = \{a.x, x\in A\}</math>.}} ▼
▲Soit <math>a\in A</math>. L'idéal engendré par <math> (\{a\} )</math>, que l’on note <math>a A</math> ou encore, par abus de notation,simplement <math>(a)</math> est égal à <math> (a) Aa:= \{ a.x,xa\mid x\in A\}</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=
Notons <math>J = \{ax, x\in A\}</math>, et montrons que c’est le plus petit idéal contenant <math>a</math>, ce qui achèvera la démonstration.
<math>J</math> est un idéal car <math>a.0\in J</math>, et pour tout <math>x,y, b\in A</math>, <math>a(x-y) = ax - ay</math> et <math>a(bx) = (ab)x</math>. Il contient <math>a</math> car <math> a.1\in J</math>.
Soit <math>I</math> un idéal de <math>A</math> contenant <math>a</math>. <math>I</math> étant un idéal contenant <math>a</math>, pour tout <math>x\in A, ax = xa \in I</math>, c'est-à-dire que <math>J\subset I</math>.
}}
{{Définition
|contenu=
Si un idéal <math>I</math> est de la forme <math>(a)</math> avec <math>a\in A</math>, il est dit principal, et <math>a</math> est appelé générateur de <math>I</math>.
}}
== Somme d'idéaux ==
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