Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif
Dans tout ce chapitre, les anneaux et sont supposés commutatifs. Rappelons qu'un idéal de est alors une partie de telle que :
- est un sous-groupe de ;
- (ce qui implique ).
Image réciproque par un morphisme
modifierSoit un morphisme d'anneaux. Le noyau de est un idéal de . Plus généralement, toute image réciproque par d'un idéal de est un idéal de .
Soit un idéal de , alors :
- est un sous-groupe de (comme image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes) ;
- donc .
Idéal engendré
modifierL'intersection d'une famille vide n'est pas définie en général mais par convention (locale à ce contexte), l'intersection d'une famille vide de parties de est .
Soit une telle famille. Son intersection est un sous-groupe de (comme intersection de sous-groupes) et .
Cette propriété est l'ingrédient de l'une des deux définitions (clairement équivalentes) de l'idéal engendré par une partie :
Soit une partie de . On appelle idéal engendré par , et l'on note :
- l'intersection de tous les idéaux de contenant ,
ou encore :
- l'ensemble des combinaisons linéaires, à coefficients dans , d'éléments de .
C'est donc le plus petit idéal de contenant .
- On appelle idéal principal tout idéal engendré par un singleton.
Soit . L'idéal , que l’on note simplement est égal à . - Soient B un anneau intègre, b un élément non inversible de B, et A = B[X] (l'anneau des polynômes à coefficients dans B). Dans A, l'idéal (X, b) n'est pas principal (voir cet exercice).
Somme d'idéaux
modifierLa somme d'une famille d'idéaux de , notée , est l'idéal engendré par la réunion . C'est donc l'ensemble des sommes finies d'éléments de cette réunion.
L'idéal engendré par une partie est donc égal à la somme des idéaux principaux engendrés par chaque élément de .
Divisibilité dans un anneau intègre
modifierOn suppose dans cette section que l'anneau est commutatif et que .
On dit que :
- divise , et l'on note , si , ou encore, si ;
- et sont associés si et , ou encore, si
La relation « divise » est donc un préordre et la relation d'association est la relation d'équivalence liée à ce préordre.
Si l'anneau est intègre alors
et sont associés (si et) seulement s'il existe dans un élément inversible tel que .
Faites ces exercices : un contre-exemple dans le cas non intègre. |
Si avec inversible alors et donc et sont associés.
Réciproquement, supposons qu'il existe tels que et . On en déduit que donc si alors et est inversible. Si , on a .