|
== Cas général : équations à coefficients variables ==
On suppose que les fonctions <math>a,b,c</math> sont continues.
==== Équation homogène associée ====
| titre=Solutions de l'équation homogène|contenu=
L'ensemble des solutions de l'équation homogène <math>a\left(x\right) f'\left(x\right) + b\left(x\right)f\left(x\right) = 0</math> est :
<math>S_0 = \left\{ A\mathrm e^{-\Phi \left(x \right)}\mid A \in\C\right\}</math>
où <math>\Phi</math> est une [[Intégration en mathématiques/Primitives|primitive]] de :la fonction <math>x \mapsto \frac{b(x)}{a(x)} ba</math>.}}
C'est un cas particulier du théorème suivant.
{{Démonstration déroulante|contenu =
La fonction ''a'' ne s'annulant pas, on peut librement redéfinir ''b'' et ''c'' pour avoir un coefficient 1 devant la dérivée de ''f''. Considérons par ailleurs l'équation homogène dans un premier temps. On cherche donc à résoudre :
<math>f' + \frac{b(x)}{a(x)}f = 0</math>.
Soit <math>\Phi</math> une primitive de la fonction <math>\frac{b}{a}</math>, par exemple : ▼<math>\Phi = \int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{a(t)} \, \mathrm dt</math>
où ''x₀'' est un réel que l’on fixe (par exemple 0).
Alors la dérivée de <math>\phi : x\mapsto e^{- \Phi(x)}</math> est
<math>\phi'(x) = -\Phi'(x) e^{-\Phi(x)} = -\frac{b(x)}{a(x)} \phi(x)</math>
On a ainsi l’ensemble des solutions à l'équation homogène.}}
==== Équation complète ====
{{Théorème
| titre=Solution complète de l'équation différentielle|contenu=
LPour <math>x_0</math> fixé, l'ensemble des solutions générales de l'équation différentielle d'ordre 1 est :
<math>S = \left \{ \left[ A + \int_{x_0}^{x} \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds \right] \cdot e^{- \Phi \left( x \right)}\mid A \in\C \right \}</math>
▲Soitoù <math>\Phi</math> est une primitive de la fonction <math>\frac {b}{a} ba</math> , par exemple :.
avec
<math>\Phi : x \mapsto \int_{x_0}^{x} \frac{b(t)}{a(t)} \, \mathrm dt</math>.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu =
Par changement de fonction inconnue <math>g:=f\mathrm e^{\Phi}</math>, l'équation <math>af'+bf=c</math> devient successivement :
Pour terminer la résolution, employons la méthode de « variation de la constante », qui consiste à rechercher des solutions particulières de la forme :
:<math>fa\left(xg\right) = Amathrm e^{-\left(x Phi}\right)'+bg\mathrm e^{-\phi\left(x\right)Phi}=c</math>
:<math>a\left(g'-\Phi'g\right)+bg=c\mathrm e^{+\Phi}</math>
On a donc, en dérivant :
:<math>fg' =\frac A' ca\phimathrm e^{+ A \phi'Phi}</math>
:<math> Ag\left(x\right) = A+\int_{x_0}^ {x } \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} \mathrm e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds</math> (où <math>A</math> est une constante arbitraire),▼
Réinjectons cela dans l'équation différentielle :
d'où le résultat annoncé pour <math>f=g\mathrm e^{-\Phi}</math>.}}
<math>f' + \frac{b}{a}f = A' \phi + A \phi' + \frac{b}{a} A \phi = A' \phi + \left( \phi' + \frac{b}{a} \phi \right) A = A' \phi = -\frac{c}{a}</math>
Ce qui donne directement :
<math>A' = \frac{c}{a \phi} = \frac{c}{a}e^{+\Phi}</math>
Donc :
▲<math>A\left(x\right) = \int_{x_0}^{x} \frac{c\left(s\right)}{a\left(s\right)} e^{+\Phi\left(s\right)}\, \mathrm ds</math>
On a ainsi une solution particulière. Finalement, nous avons résolu complètement l'équation différentielle.}}
=== Remarques ===
|exercice=[[Équation différentielle/Exercices/Équation différentielle linéaire du premier ordre|Équation différentielle linéaire du premier ordre]]
}}
''Résoudre sur <math>\left]0,+\infty\right[</math> les équations suivantes. :''
* <math>xy' -4y=0</math> ;
* <math>xyx^2y' -4y+y=0 </math> sur <math>]0;+\infty[</math>
* <math>x^xy' -2y'+y =0 3x^2</math> sur <math>]0;+\infty[</math>
* <math>xy5x^2y' -2y =3x^2</math> sur <math>]0;+\infty[</math>.
* <math>5x^2y' -2y =3x</math> sur <math>]0;+\infty[</math>{{clr}}
==== Exemple en physique ====
| 