Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

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Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre
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Équations différentielles linéaires du premier ordreModifier

 .

(Pour les définitions, revoir le chapitre 1.)

Début de l'exemple
Fin de l'exemple

Espaces vectorielsModifier

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.

  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
  • Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Sa direction est le sous-espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.

Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.

Début d’un théorème
Fin du théorème

La condition initialeModifier

  • L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,
    le fait de fixer une seule valeur de la fonction solution suffit à la définir parfaitement.
  • Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
    • un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre   qui dépend de la variable   (en général le temps) ;
    • la connaissance de cet état à un instant donné détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.
Début d’un théorème
Fin du théorème

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constantsModifier

 

(Pour les définitions, revoir le chapitre 1.)

Le théorème suivant est une reformulation du résultat principal du chapitre précédent.

Début d’un théorème
Fin du théorème

(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène :  .)

RemarqueModifier

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque  . Si a et b sont réels de signe opposé, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers  .

Cas général : équations à coefficients variablesModifier

On suppose que les fonctions   sont continues.

Équation homogène associéeModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


C'est un cas particulier du théorème suivant.

Équation complèteModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


RemarquesModifier

  • On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
  • La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple