Équation différentielle/Équation différentielle linéaire du premier ordre

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Équations différentielles linéaires du premier ordre

Définition générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre est la suivante :

$a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$

Avec :

- $f(x)$ : fonction à déterminer

- $f'(x)$ : dérivée première de la fonction $f$

- $a(x),b(x),c(x)$ des fonctions réelles telles que $a(x)\neq 0$

Début de l'exemple

Exemples

• Préciser les valeurs de $a(x)$, $b(x)$ et $c(x)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée.

$xf'(x)-3f(x)=\sin(x)$

Solution

$a(x)=x,b(x)=-3,c(x)=\sin(x)$.

Équation homogène associée : $xf'(x)-3f(x)=0$

 

• Préciser les valeurs de $a(t)$, $b(t)$ et $c(t)$ dans l'équation suivante et donner l'équation homogène associée, sachant que la variable est $t$ et que la fonction inconnue est notée $y$.

$t^{2}y'(t)-3y(t)=\sin(t)$

Solution

$a(t)=t^{2},b(t)=-3,c(t)=\sin(t)$.

Équation homogène associée : $t^{2}y'(t)-3y(t)=0$

 

Fin de l'exemple

Espaces vectoriels

La linéarité d'une équation différentielle a des conséquences importantes facilitant la recherche de solutions.

• Les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène forment un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions. Dans le cas d'une équation d'ordre 1, ce sous-espace est de dimension 1.
• Les solutions d'une équation différentielle linéaire forment un sous-espace affine de l'espace affine des fonctions. Sa direction est le sous-espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.

Ces considérations géométriques donnent le théorème suivant, très important dans la résolution en pratique.

Début d’un théorème

Théorème

Les solutions d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sont la somme d'une solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète.

Fin du théorème

La condition initiale

• L'ensemble des solutions d'une E.D.L. du premier ordre étant un espace vectoriel de dimension 1,

  le fait de fixer une seule valeur de la fonction-solution suffit à la définir parfaitement.

• Le sens physique de cette remarque est très intuitif :
  • un système physique régi par une équation différentielle du premier ordre voit son état déterminé par un seul nombre $f(x)$ qui dépend de la variable $x$ (en général le temps) ;
  • la connaissance de cet état à un instant donné détermine l'état du système à tout instant. C'est ce qu'on appelle la condition initiale.

Début d’un théorème

Théorème de Cauchy

Deux nombres $x_{0}$ et $y_{0}$ étant donnés, il existe une unique solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiant $f(x_{0})=y_{0}$

Fin du théorème

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

L'expression générale d'un équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la suivante :

$af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c\left(x\right)$

Avec :

- $f(x)$ : fonction à déterminer

- $f'(x)$ : dérivée première de la fonction $f$

- $a,b$ sont des nombres réels tels que $a\neq 0$ et $c$ peut être soit un nombre, soit une fonction.

Le théorème suivant est une reformulation du résultat principal du chapitre précédent.

Début d’un théorème

Théorème

Dans le cas particulier où le second membre $c$ est également constant, l'ensemble des solutions de l'équation complète $af'\left(x\right)+bf\left(x\right)=c$ est :

$S=\left\{Ae^{-{\frac {b}{a}}x}+{\frac {c}{b}}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$

Fin du théorème

(C'est en particulier le cas si l'équation est homogène : $c=0$).

Remarque

Il est intéressant de remarquer la stabilité des systèmes décrits par de telles équations. En effet, si a et b sont des réels de même signe, il existe toujours un régime de stabilité lorsque $t\to \infty$. Si a et b sont des réels de signes opposés, le système est instable et la solution tend exponentiellement vers $\pm \infty$.

Cas général : équations linéaires à coefficients et second membre variables

On suppose que les fonctions $a,b,c$ sont continues.

Équation homogène associée

Début d’un théorème

Solution générale de l'équation homogène

La solution générale de l'équation homogène $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=0$ est :

$f_{ESSM}=A\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}$

où $\Phi$ est une primitive de la fonction ${b(x) \over a(x)}$ et $A$ une constante (réelle ou complexe).

$\Phi (x)=\int {b(x) \over a(x)}dx$

Fin du théorème

Solution particulière de l'équation complète

Début d’un théorème

Solution particulière de l'équation complète

Une solution particulière de l'équation complète $a\left(x\right)f'\left(x\right)+b\left(x\right)f\left(x\right)=c\left(x\right)$ est :

$f_{p}=g(x)e^{-\Phi \left(x\right)}$

où $g(x)$ est définie par la primitive ci-dessous :

$g(x)=\int {{c(x) \over a(x)}e^{\Phi (x)}dx}$

Fin du théorème

Ensemble des solutions de l'équation complète

Début d’un théorème

Ensemble des solutions de l'équation différentielle complète

L'ensemble des solutions (solution générale + solution particulière) de l'équation différentielle d'ordre 1 est :

$S=f_{ESSM}+f_{p}=\left\{[A+g(x)]\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}\mid A\in \mathbb {C} \right\}$

La fonction $f$ s'écrit donc de la manière suivante :

$f(x)=[A+g(x)]\mathrm {e} ^{-\Phi \left(x\right)}$

Fin du théorème

Remarques

• On retrouve le cas des coefficients constants avec ce formalisme.
• La solution générale, très difficile à lire, se révèle parfois également difficile à utiliser. En effet, il n’est pas toujours aisé d'intégrer les rapports obtenus. En revanche une intégration numérique efficace est souvent envisageable, ce qui permet des résolutions numériques fiables.

Début de l'exemple

Exemples

Résoudre sur $\left]0,+\infty \right[$ les équations suivantes :

1. $xy'-4y=0$
2. $x^{2}y'+y=0$
3. $xy'-2y=3x^{2}$

Solution

1. Une primitive de $-{\frac {4}{x}}$ est $-\ln \left(x^{4}\right)$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{4}\right)}=A\left(x^{4}\right)$ ($A\in \mathbb {R}$).
2. Une primitive de ${\frac {1}{x^{2}}}$ est $-{\frac {1}{x}}$ donc la solution est $y=A\operatorname {e} ^{1/x}$ ($A\in \mathbb {R}$).
3. Une primitive de $-{\frac {2}{x}}$ est $-\ln \left(x^{2}\right)$ donc la solution de l'équation homogène est $y=A\operatorname {e} ^{\ln \left(x^{2}\right)}=Ax^{2}$ ($A\in \mathbb {R}$). Pour résoudre l'équation avec second membre, on pose donc $y(x)=x^{2}A(x)$. L'équation équivaut alors à $A'={\frac {3}{x}}$, c'est-à-dire $A(x)=3\ln x+C$ donc la solution est $y(x)=3x^{2}\ln(x)+Cx^{2}$ ($C\in \mathbb {R}$).

Remarque généralisant la question 1 : Pour tout réel $\alpha$, les solutions pour $x\neq 0$ de l'équation différentielle $xy'-\alpha y=0$ sont $y=C|x|^{\alpha }$ ; plus précisément : $y=C_{+}x^{\alpha }$ si $x>0$ et $y=C_{-}(-x)^{\alpha }$ si $x<0$, où $C_{+}$ et $C_{-}$ sont deux réels arbitraires. Mis à part le cas trivial $\alpha \neq 0$, pour l'allure du graphe et de l'éventuel recollement en $x=0$, on distingue les cas :

• $\alpha >1$ : recollement dérivable en $0$, quels que soient les choix de $C_{+}$ et $C_{-}$
• $\alpha =1$ : recollement dérivable en $0$ si et seulement si $C_{-}=-C_{+}$
• $0<\alpha <1$ : recollement non dérivable en $0$
• $\alpha <0$ : pas de recollement en $0$

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple en physique

Considérons le cas d'un mobile de masse variable supposée connue et unité à l'origine (comme un mobile qui brûlerait du carburant et s'allégerait), soumis à une force sinusoïdale.

Le principe fondamental de la dynamique donne :

${\dot {p}}=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$

Déterminer $v$ en fonction de $t$.

Solution

On a ainsi l'équation :

$m(t)v'(t)+v(t)m'(t)=F_{0}\sin(\omega _{0}t)$

Posons le problème sous la forme canonique :

$v'(t)+{\frac {m'(t)}{m(t)}}v(t)-{\frac {F_{0}}{m(t)}}\sin(\omega _{0}t)=0$

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est :

$v(t)={A\omega _{0}-F_{0}\cos(\omega _{0}t) \over \ \omega _{0}m(t)}$

On note $v_{0}$ la vitesse à l'origine des temps. Indiquons la masse initiale du mobile $m_{0}=1$.

La solution unique au problème est :

$v(t)={\omega _{0}v_{0}+2F_{0}\sin ^{2}({\omega _{0} \over \ 2}t) \over \omega _{0}m(t)}$

 

Fin de l'exemple