« Calcul différentiel/Exercices/Examen » : différence entre les versions

:<math>\gamma(t)=

\begin{cases}

\end{cases}</math>

# Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée <math>\R\to\R</math> du domaine de définition).

# On a <math>\lim_{t\to\pm\infty}\Vert\gamma(t)\Vert=+\infty</math>. Pour <math>t</math> assez grand, <math>y(t)\ne0</math> et <math>\frac{x(t)}{y(t)}=\frac{t^3-1}{t^3+1}=\frac{1-t^{-3}}{1+t^{-3}}</math>.<br />Ainsi <math>\lim_{t\to\pm\infty}\frac{x(t)}{y(t)}=1</math>, et <math>\gamma</math> admet la direction <math>y=x</math> pour direction asymptotique en <math>\pm\infty</math>.<br />De plus <math>y(t)-x(t)=2(t^2-1)</math> donc <math>\lim_{t\to\pm\infty}y(t)-x(t)=+\infty</math>. La courbe a donc des branches paraboliques de direction <math>y=x</math> au voisinage de <math>+\infty</math> et <math>-\infty</math>.

# <math>\gamma(t)=0\Leftrightarrow t\in\{1,-1\}</math>. <math>\gamma'(1)=(0,4)</math> et <math>\gamma'(-1)=(-4,0)</math> donc <math>\gamma</math> passe deux fois par l'origine, une fois avec une tangente horizontale, une fois avec une tangente verticale.

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