Calcul différentiel/Exercices/Examen

Examen
Image logo représentative de la faculté
Exercices no6
Leçon : Calcul différentiel

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Équations différentielles non linéaires
Exo suiv. :Courbes paramétrées
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Examen
Calcul différentiel/Exercices/Examen
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Examen de L3, université Paul Sabatier, 17/05/2017, durée : 3 h.

Ex. IModifier

Dans le plan muni d'un repère orthonormé  , on se propose d'étudier la courbe paramétrée

 
  1. Étudier les éventuelles symétries de la courbe (dans chaque cas, expliciter la transformation géométrique qui laisse la courbe invariante et la transformation associée   du domaine de définition).
  2. Déterminer les éventuels points singuliers de   et les étudier. Dessiner l'allure de la courbe au voisinage de ces points dans le repère donné.
  3. Étudier les branches infinies de   et déterminer ses éventuelles asymptotes.
  4. Préciser l'allure de   au voisinage de l'origine.
  5. Donner l'allure de   sur un dessin.

Ex. IIModifier

On considère la fonction   donnée par la relation  , et l'on note    est la norme euclidienne canonique de  .

  1. Déterminer les points critiques de  .
  2. Étudier les extrema locaux de  .

Ex. IIIModifier

  1. Montrer qu'il existe des voisinages   et   de   dans   tels que, pour tout  , le système
     
    admet une unique solution   dans  .
  2. Montrer que l'équation   détermine localement   comme une fonction de   au voisinage de  , c'est-à-dire qu'il existe une fonction  , de classe  , définie sur un voisinage   de   et à valeurs dans un voisinage   de  , telle que
     .
    Calculer  .

Ex. IVModifier

Étant données deux fonctions continues   et   de   dans  , on considère l'équation différentielle

 .
  1. On suppose dans cette question que   et   sont des constantes. Expliciter alors, en discutant suivant   et  , toutes les solutions réelles de  .
  2. Dans la suite, on ne suppose plus   et   constantes. En posant
     ,
    donner une équation linéaire de la forme
     
    équivalente à  .
  3. Justifier que pour tout   et  , il existe une unique solution maximale   de   telle que   et  . Que dire de son domaine de définition ?
  4. Soit   une solution de  . On suppose qu'il existe   tel que   et  . Montrer que   est l'application nulle.
    En déduire qu'une solution non constamment nulle n'a que des zéros isolés.
  5. Soit   et   deux solutions non constamment nulles de  . On suppose qu'il existe   tel que  . On pose   et  . Montrer que  .
    En déduire que deux solutions linéairement indépendantes n'ont pas de zéro commun.