« Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Suites adjacentes : complément+simplifdémo |
m →Convergence des suites adjacentes : Style et complément+lien wp |
||
Ligne 34 :
== Convergence des suites adjacentes ==
Pour démontrer une convergence, il est souvent utile de construire deux suites adjacentes et d’utiliser le théorème suivant.
{{Théorème|titre=Théorème des suites adjacentes|contenu={{Wikipédia|Théorème des suites adjacentes}}Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites adjacentes.
Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite▼
}}▼
▲
{{Démonstration déroulante|contenu=
La suite (<math>u_n</math>) est croissante, et majorée par <math>v_0</math>. D'après le [[Approfondissement sur les suites numériques/Convergence#Théorème de la limite monotone|théorème de la limite monotone]], cette suite admet donc une limite <math>\ell</math>. Puisque la suite <math>(v_n-u_n)</math> converge vers <math>0</math>, on en déduit que la suite <math>(v_n)=(v_n-u_n)+(u_n)</math> converge vers <math>0+\ell=\ell</math>.
De plus, pour tout <math>n</math>, <math>u_n\le\ell\le v_n</math> : la première inégalité se déduit, par passage à la limite, de <math>\forall q\quad u_n\le v_q</math>, et la seconde se déduit de <math>\forall p\quad u_p\le v_n</math>.
▲}}
{{Bas de page
| |||