Approfondissement sur les suites numériques/Suites adjacentes

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Dans cette leçon, nous allons étudier des suites dites adjacentes. L'idée de cette notion centrale est de repérer quand deux suites, l'une croissante et l'autre décroissante, convergent vers la même limite.

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Nous verrons dans un premier temps la définition et le théorème principal concernant les suites adjacentes, avant de nous concentrer sur quelques exemples et applications remarquables.

Suites adjacentes

Voyons tout d'abord la définition de deux suites adjacentes.

Définition

Deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes si :

• $(u_{n})$ est croissante
• $(v_{n})$ est décroissante
• $\lim _{n\to +\infty }(v_{n}-u_{n})=0$

L'intérêt principal de cette notion se situe dans la propriété suivante, et surtout dans le théorème, dit des suites adjacentes, qui suivra. Le résultat principal à retenir est que si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers une limite commune. Ainsi, pour démontrer une convergence, il peut être utile de construire deux suites adjacentes et d’utiliser le théorème qui va suivre.

Propriété

Si les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes alors :

• pour tout entier $n$, $u_{n}\leq v_{n}$ ;
• plus généralement, pour tous entiers $p$ et $q$, $u_{p}\leq v_{q}$.

Démonstration

• La suite $(v_{n}-u_{n})$ est décroissante et tend vers $0$, donc elle est positive.
• • Si $p\leq q$ alors $u_{p}\leq u_{q}\leq v_{q}$ (car $(u_{n})$ est croissante).
  • Si $p\geq q$ alors $u_{p}\leq v_{p}\leq v_{q}$ (car $(v_{n})$ est décroissante).

 

Début d’un théorème

Théorème des suites adjacentes

Soient $(u_{n})$ et $(v_{n})$ deux suites adjacentes.

Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite $\ell \in \mathbb {R}$.

De plus, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\leq \ell \leq v_{n}$.

Fin du théorème

Démonstration

La suite ($u_{n}$) est croissante, et majorée par $v_{0}$. D'après le théorème de la limite monotone, cette suite admet donc une limite $\ell$. Puisque la suite $(v_{n}-u_{n})$ converge vers $0$, on en déduit que la suite $(v_{n})=(v_{n}-u_{n})+(u_{n})$ converge vers $0+\ell =\ell$.

De plus, pour tout $n$, $u_{n}\leq \ell \leq v_{n}$ : la première inégalité se déduit, par passage à la limite, de $\forall q\quad u_{n}\leq v_{q}$, et la seconde se déduit de $\forall p\quad u_{p}\leq v_{n}$.

 

Applications

Voyons maintenant des exemples classiques d'applications des suites adjacentes.

1. La première application va nous permettre de montrer que le nombre $\mathrm {e}$ est irrationnel. Plus exactement, on va seulement redémontrer que la suite $(u_{n})$ définie par

   $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$

   converge et que sa limite $\ell$ vérifie

   $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad 0<n!\,(\ell -u_{n})<1$

   (dans Fonction exponentielle/Annexe/Démonstration que la somme infinie de tous les inverses des k! est égale à e, on démontre cela, dont on déduit que cette limite $\ell$ est irrationnelle, et l'on démontre par ailleurs qu'elle est égale à $\mathrm {e}$).

   Il suffit de vérifier que les deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes, la suite $(v_{n})$ étant définie par :

   $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad v_{n}=u_{n}+{\frac {1}{n.n!}}$.

   Manifestement, $(u_{n})$ est strictement croissante et $v_{n}-u_{n}\to 0$ ; montrons alors que $(v_{n})$ est décroissante : pour tout entier $n>0$,

   ${\begin{aligned}v_{n+1}-v_{n}&=u_{n+1}-u_{n}+{\frac {1}{(n+1).(n+1)!}}-{\frac {1}{n.n!}}\\&={\frac {1}{(n+1)!}}+{\frac {1}{(n+1).(n+1)!}}-{\frac {1}{n.n!}}\\&={\frac {(n+1)n+n-(n+1)^{2}}{n(n+1).(n+1)!}}\\&={\frac {-1}{n(n+1).(n+1)!}}<0.\end{aligned}}$

   Ainsi, $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont bien adjacentes.

2. Pour la seconde application, on va étudier l'approximation décimale d'un nombre réel.

   Soit $a\in \mathbb {R}$. On définit les deux suites suivantes :

   $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}=10^{-n}E(10^{n}a),\ v_{n}=10^{-n}(E(10^{n}a)+1)$ où $E$ désigne la partie entière.

   On appelle $(u_{n})$ l'approximation par défaut de $a$ et $(v_{n})$ l'approximation par excès. Ces deux suites donnent les $n$ premiers chiffres après la virgule de $a$.

   On a : $v_{n}-u_{n}=10^{-n}\to 0$. Il faut donc montrer que $(u_{n})$ (resp. $(v_{n})$) est croissante (resp. décroissante).

   Soit $n\in \mathbb {N}$. Par définition de la partie entière, on a : ${\begin{cases}E(10^{n}a)\leq 10^{n}a<E(10^{n}a)+1\\E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1\end{cases}}$

   On en déduit que : ${\begin{cases}10E(10^{n}a)\leq 10^{n+1}a<E(10^{n+1}a)+1\\E(10^{n+1}a)\leq 10^{n+1}a<10\left(E(10^{n}a)+1\right)\end{cases}}$.

   Comme les nombres $10E(10^{n}a),\ E(10^{n+1}a)+1,\ E(10^{n+1}a),\ 10\left(E(10^{n}a)+1\right)$ sont des nombres entiers, on en déduit :

   ${\begin{cases}10E(10^{n}a)\leq E(10^{n+1}a)\\E(10^{n+1}a)+1\leq 10\left(E(10^{n}a)+1\right)\end{cases}}$.

   Et finalement, en multipliant les deux inéquations par $10^{-(n+1)}$, on a bien montré que $u_{n}\leq u_{n+1}$ et $v_{n+1}\leq v_{n}$.

   Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite que l'on notera $l$. Or, on a : $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{n}\leq a\leq v_{n}$, ce qui permet de conclure que $l=a$ par passage à la limite.

   On vient donc de construire deux suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent vers $a$. Au passage, on vient de montrer que tout nombre réel peut être vu comme limite d'une suite de nombres décimaux, on dit alors que les nombres décimaux sont denses dans les nombres réels. Remarquons également que dans ce qui précède on peut remplacer $10$ par n'importe quel entier supérieur ou égal à $2$, c'est-à-dire que l'on peut écrire le nombre réel dans une autre base que la base décimale.

3. La troisième application est le calcul d'un zéro d'une fonction par la méthode de dichotomie.

   Soit $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$ et telle que $f(a)f(b)<0$, c'est-à-dire que $f$ change de signe sur le segment. On sait alors par le théorème des valeurs intermédiaires que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $c\in [a,b]$.

   La preuve par dichotomie de ce théorème pemet de trouver une valeur approchée de $c$ quand on ne sait pas résoudre algébriquement l'équation. L'idée de cet algorithme est de regarder la valeur de $f$ au milieu du segment, et en fonction de cette valeur on va pouvoir réduire l'intervalle. On va ainsi diviser en deux à chaque fois la taille de l'intervalle où $c$ se situe. Pour plus de détails, voir Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires.

4. La dernière application est l'un des théorèmes fondamentaux sur la topologie de $\mathbb {R}$ : le théorème des segments emboîtés. Sa démonstration est directe par application du théorème des suites adjacentes. Il permet, en particulier, de démontrer un autre résultat fondamental : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Début d’un théorème

Théorème des segments emboîtés

Soient $(a_{n}),\ (b_{n})$ deux suites telles $\forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{n}\leq b_{n}$ et $[a_{n+1};b_{n+1}]\subset [a_{n};b_{n}]$, et telles que $b_{n}-a_{n}\to 0$.
Alors, il existe un unique réel $\ell$ tel que ${\underset {n\in \mathbb {N} }{\cap }}[a_{n};b_{n}]=\ell$

Fin du théorème

Ce théorème sera généralisé au niveau 16 par le théorème des fermés emboîtés.