« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m →Convexité et continuité : Démonstration déroulante |
|||
Ligne 32 :
Soit <math>f</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I</math>. Si <math>f</math> est convexe alors, pour tous <math>a<c<b</math> dans <math>I</math> :
<center>
<math>\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\le\frac{f(b)-f(c)}{b-c}</math>
</center>
et par conséquent,
Réciproquement, si l'une des deux inégalités est vérifiée pour tous <math>a<c<b</math> dans <math>I</math> alors <math>f</math> est convexe.▼
<center>
<math>\frac{f(c)-f(a)}{c-a}\le\frac{f(b)-f(c)}{b-c}</math>.
</center>
▲Réciproquement, si l'une des
}}
{{Démonstration déroulante|
contenu=
Pour tous <math>a,b,c\in I</math> tels que <math>a<c<b</math>, chacune de ces
:<math>f(c)\le\frac{b-c}{b-a}f(a)+\frac{c-a}{b-a}f(b)</math>.
Elles sont donc équivalentes.
Ligne 45 ⟶ 49 :
*<math>c=ta+(1-t)b\Leftrightarrow t=\frac{b-c}{b-a}\Leftrightarrow1-t=\frac{c-a}{b-a}</math> ;
*<math>ta+(1-t)b</math> est strictement compris entre <math>a</math> et <math>b</math> si et seulement si <math>t\in]0,1[</math>.
Par conséquent, l'une des
}}
L'inégalité des pentes est utilisée pour démontrer la propriété suivante, admise car de niveau supérieur à celui de ce chapitre.
| |||