« Fonction logarithme/Étude de la fonction logarithme népérien » : différence entre les versions
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m →Limite en 0^+ : Style |
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{{Théorème
| contenu=La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle <math>\left]0
<math>\begin{array}{c|ccc|}
x&0&&+\infty\\
\hline
\
\end{array}
</math>}}
{{Démonstration déroulante|contenu= ▼
▲* Si x > 0 alors <math>\ln'(x)=\frac1x>0</math>
== Courbe représentative ==
Ligne 33 ⟶ 30 :
x&0&&1&&+\infty\\
\hline
\
\end{array}
</math>
En effet, <math>\ln</math> est strictement croissante et s'annule en <math>1</math>.
== Étude des limites ==
=== Limite en <math>+\infty</math> ===
<math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>▼
Comme on sait que <math>\ln</math> est croissante, il suffit de regarder l’évolution de
<math>\ln(2^n)=n
}}
▲il suffit de regarder l’évolution de ''ln'' sur une suite de valeurs tendant vers <math>+\infty</math>,
▲<math>\ln(2^n)=n * \ln(2)= n * constante</math> tend vers <math>+\infty</math>
▲<math>\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty</math>
=== Limite en 0{{exp|+}}===
Ligne 83 ⟶ 66 :
</math>}}
===Le nombre e et l’équation ln(''x'') = 1===
D’après le tableau de variations, <math>\ln</math> est une [[Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection|bijection]] de <math>\left]0,+\infty\right[</math> sur <math>\R</math>. En particulier :
| contenu=Il existe un unique nombre, noté ''e'' (constante de Neper, ou parfois nombre d'Euler) tel que <math>\ln(e)=1</math>.}}▼
{{Théorème|contenu={{Wikipédia|e (nombre)}}
{{Propriété▼
▲
}}
''e'' est irrationnel, de valeur approchée 2,718.}}▼
▲{{Propriété|contenu=
}}
(En fait, [[Démonstration de la transcendance de e et pi|e est même transcendant]].)
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
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