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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
On a vu que la fonction ''exp'' est strictement croissante sur <math>\R</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand ''x'' tend vers <math>+\infty</math>, et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (e<sup>''n''</sup>).
Pour formaliser cecicela, on étudie la limite :<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}x</math>, qui est une forme indéterminée <math>\frac{\infty }{\infty}</math>.
<center><math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x</math></center> ▼ | titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu= <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}}▼▲<center><math>\lim_{x\to+\infty}\frac{ \mathrm e^x}x =+\infty</math> .</center>
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qui est une forme indéterminée <math>\frac{\infty }{\infty}</math>.
▲ | titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}}
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{{Démonstration déroulante|contenu=
Pour tout réel <math>x</math>,
On étudie sur <math>[0;\sqrt{\mathrm e^x}=\mathrm e^{\frac x2}\ge1+\infty[frac x2>\frac x2</math> la fonctiondonc <math>\phi :mathrm e^x>\mapstoleft(\frac ex2\right)^x-2=\frac{1x^2}4</math> donc <math>\frac{2\mathrm e^x}x^2>\frac x4</math>.
On a :
<math>\phi'(x)=e^x-x</math>
et
<math>\phi''(x)=e^x-1</math>
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
Or <math>\phi'(0)=1</math> donc <math>\phi'(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math>, donc <math>\phi</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
Or <math>\phi(0)=1</math> donc <math>\phi(x)\geq 0</math> sur <math>[0;+\infty[</math>
On en déduit avec l’expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :
<math>e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0</math>
donc:
<math>e^x\geq \frac{1}{2}x^2</math>
donc :
Or <math>\fraclim_{e^x\to+\infty}\frac x4=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x}\geq to+\infty}\frac{1}{2\mathrm e^x}x=+\infty</math>.
(Une autre méthode est proposée [[../Exercices/Croissances comparées|en exercice]].)
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty</math>}}
}}
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en - ∞ ==
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