Fonction exponentielle/Croissances comparées
Comparaison de ex et x au voisinage de + ∞
modifierLa fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers plus vite que , pour tout entier .
Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est écrite sous la forme indéterminée : .
Pour tout entier naturel et tout réel ,
.
Donc donc .
Puisque , donc par comparaison, .
(Pour le cas , une autre méthode est proposée en exercice.)
Comparaison de ex et x au voisinage de - ∞
modifierOn en déduit la limite , qui est écrite sous la forme indéterminée : .
Changement de variable :
Quand , donc .
En résumé
modifierLorsque les limites en d'un produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme donnent lieu à des formes indéterminées, on sait que l'exponentielle est prioritaire sur le polynôme. Ce sont donc ses limites respectives à prendre en compte et à appliquer dans les expressions.
Voir aussi : Fonction logarithme/Croissances comparées.