« Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle » : différence entre les versions
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{{Clr}}
Soit <math>x\in\R</math>.▼
== Exercice 1 ==
# <math>(\mathrm e^x)^5\times\mathrm e^{-2x}</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{2x+3}}{\mathrm e^{2x-1}}</math> ;
Ligne 20 ⟶ 23 :
== Exercice 2 ==
# <math>(\mathrm e^x)^6\times\mathrm e^{-3x}</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{2x+5}}{\mathrm e^{3x}\times\mathrm e^{-1}}</math>.
Ligne 29 ⟶ 32 :
== Exercice 3 ==
# <math>(\mathrm e^x)^5\times\mathrm e^{-4x}</math> ;
# <math>\frac{\mathrm e^{2x-5}}{\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{-1}}</math>.
Ligne 39 ⟶ 42 :
== Exercice 4 ==
Démontrer que
# <math>\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^x+1}=\frac{1-\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^{-x}}</math> ;
# <math>\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}=\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^{2x}}</math>
# <math>\frac{\mathrm e^{-x}+1}{\mathrm e^{-2x}}=\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>.▼
{{Solution|contenu=
▲Soit <math>x\in\R</math>.
# <math>\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^x+1}=\frac{\mathrm e^x(1-\mathrm e^{-x})}{\mathrm e^x(1+\mathrm e^{-x})}=\frac{1-\mathrm e^{-x}}{1+\mathrm e^{-x}}</math> ;
# <math>\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}=\frac{\mathrm e^{2x}(\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x})}{\mathrm e^{2x}}=\frac{\mathrm e^{2x-x}-\mathrm e^{2x-2x}}{\mathrm e^{2x}}=\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e^{2x}}</math>
# <math>\frac{\mathrm e^{-x}+1}{\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^{2x}(\mathrm e^{-x}+1)}{\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^0}=\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>.▼
▲<math>\frac{\mathrm e^{-x}+1}{\mathrm e^{-2x}}=\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>.
▲<math>\frac{\mathrm e^{-x}+1}{\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^{2x}(\mathrm e^{-x}+1)}{\mathrm e^{2x}\times\mathrm e^{-2x}}=\frac{\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^0}=\mathrm e^x+\mathrm e^{2x}</math>.
}}
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