Fonction exponentielle/Exercices/Propriétés algébriques de l'exponentielle
Soit .
Exercice 1
modifierDans chaque cas, simplifier l'expression :
- ;
- ;
- .
Solution
- ;
- ;
- .
Exercice 2
modifierDans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :
- ;
- .
Solution
- ;
- .
Exercice 3
modifierDans chaque cas, mettre sous la forme d'une seule exponentielle :
- ;
- .
Solution
- ;
Exercice 4
modifierDémontrer que :
- ;
- ;
- .
Solution
- ;
- ;
- .
Exercice 5
modifierSoit ou et une fonction non constamment nulle et vérifiant :
- .
Démontrer que :
- ;
- ;
- ;
- Pour tout et tout rationnel , ;
- Si est définie sur et continue en un point alors elle est continue sur .
- Si est continue sur alors elle est de la forme .
Solution
- Puisque , il existe tel que . Mais alors donc .
- .
- d'après le point précédent, et .
- Le cas se démontre exactement de la même façon que pour (cf. cours). On en déduit en particulier que pour tout entier , (cf. chap. 7). Par conséquent (cf. chap. 7), pour tout et tous entiers et , .
- Supposons continue en . Alors elle est continue en tout car quand , .
- Soit le réel tel que . Les deux fonctions et coïncident en , donc sur d'après la question 4, donc sur par continuité.