« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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(→‎Exercice 2-1 : +1 : densité de GLn)
 
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni de nd'importeune quelle [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Norme et distance|norme, toutes étant équivalentes]]arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
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