Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Dimension finie
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Exercices no3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chapitre du cours : Dimension finie

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Applications linéaires continues
Exo suiv. :Sommaire
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Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie
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Exercice 3-1Modifier

Soit  . Montrer que son exponentielle est un polynôme en   ou plus généralement, que   pour toute fonction   d'une variable complexe développable en série entière en  , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de   (pour une norme arbitraire fixée sur  ).

Exercice 3-2 : densité de GLnModifier

Soit   ou  . Démontrer que dans   (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble   des matrices inversibles est dense.

Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continueModifier

Soit   une application continue, admettant à l'infini une limite   (finie ou infinie) :

 .

On pose   et   (donc  ).

  1. Montrer que si  , alors la valeur   est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
  2. En déduire que (sans cette hypothèse)   admet un extremum.
  3. En déduire également que si   est finie, alors   est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Exercice 3-4 : équivalence des normes et complétudeModifier

L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, sans faire appel à la notion de compacité :

Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
  1. Soit   un e.v.n. réel,   un vecteur non nul de   et   un hyperplan supplémentaire de  . On munit   de la norme   restriction de  ,   de la norme   et   de la norme produit, que nous noterons  , et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue)  .
    Montrer que si   est fermé dans   alors   est également continue.
  2. En déduire par récurrence la proposition suivante :
    Pour tout  , toutes les normes sur un e.v. réel de dimension   sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.

Exercice 3-5Modifier

Soit   une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

  1.   ;
  2. Pour toute partie bornée   de  ,   est une partie bornée de   ;
  3. Pour toute partie compacte   de  ,   est une partie compacte de  .

Exercice 3-6Modifier

Montrer que l'ensemble   est une partie compacte de  .