« Espace préhilbertien réel/Produit scalaire » : différence entre les versions
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== Produit scalaire ==
=== Définitions ===
{{Définition
Ligne 22 :
{{principe|titre=Convention de notation|contenu=On notera ce produit scalaire <math>\langle\cdot|\cdot\rangle</math> (au lieu de <math>f(\cdot,\cdot)</math>.}}
=== Rappel ===
(Cf. chapitre précédent.)
Ligne 31 :
On a égalité si et seulement si <math>(x,y)</math> est liée.}}
== Norme, distance ==
=== Définitions ===
{{Définition
Ligne 49 :
\end{array}</math>}}
=== Propriétés ===
{{théorème
| contenu=
Ligne 65 :
L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'''une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme''. C'est le '''[[w:Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan|théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan]]''', dont la démonstration est laissée en exercice.
== Exemples fondamentaux ==
Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur <math>\R^n</math>, décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur <math>\operatorname M_{m,n}(\R)</math> qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. [[Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices]]), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :
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