Espace préhilbertien réel/Produit scalaire

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Produit scalaire
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Chapitre no 2
Leçon : Espace préhilbertien réel
Chap. préc. :Formes bilinéaires symétriques
Chap. suiv. :Orthogonalité

Exercices :

Polynômes de Legendre
Exercices :Polynômes de Laguerre
Exercices :Produit scalaire
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Produit scalaireModifier

DéfinitionsModifier


On suppose désormais que E est un espace préhilbertien réel, c'est-à-dire on suppose avoir muni E d'un produit scalaire.

Début d’un principe
Fin du principe

RappelModifier

(Cf. chapitre précédent.)

Début d’un théorème
Fin du théorème


Norme, distanceModifier

DéfinitionsModifier


On pourra utiliser des notions de topologie pour montrer qu'on obtient bien une norme. La norme préhilbertienne est alors appelée « norme 2 », et est notée  . Le but de ce chapitre n'étant pas de faire de la topologie on s'en tiendra à la notation simple.

  Voir le cours sur les espaces vectoriels normés pour plus de détails sur les normes.


PropriétésModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


L'identité du parallélogramme est importante car on peut montrer qu'une norme est préhilbertienne si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. C'est le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan, dont la démonstration est traitée en exercice :



Exemples fondamentauxModifier

Outre l'exemple du produit scalaire canonique sur  , décrit dans la leçon sur les espaces euclidiens qui figure en prérequis, on peut mentionner celui sur   qui n'en est qu'un cas particulier déguisé (cf. Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices), mais aussi des exemples sur des espaces de dimension infinie :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple